Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(9 x)}{e^{x}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(9x)}{e^{x}-1}.
O conteúdo envolvido é o cálculo de limites do tipo \tfrac{0}{0}, para o qual podemos usar a regra de l’Hôpital (ou equivalentes de séries de Taylor).

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação: \sin(9x)\to \sin(0)=0 e e^{x}-1\to 1-1=0 quando x\to0.
Portanto, temos uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Pela regra de l’Hôpital, vamos derivar numerador e denominador em relação a x:
– Derivada de \sin(9x) é 9\cos(9x).
– Derivada de e^{x}-1 é e^{x}.
Assim,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(9x)}{e^{x}-1} =\lim_{x\to 0}\frac{9\cos(9x)}{e^{x}}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite direto: \cos(9x)\to \cos(0)=1 e e^{x}\to1 quando x\to0.
Logo,
\lim_{x\to 0}\frac{9\cos(9x)}{e^{x}} =\frac{9\cdot1}{1} =9.

Resposta

O limite existe e vale 9.

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