Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
O conteúdo envolvido é o cálculo de limites do tipo
, para o qual podemos usar a regra de l’Hôpital (ou equivalentes de séries de Taylor).
Passo 2
Verificamos o tipo de indeterminação:
e
quando
.
Portanto, temos uma forma indeterminada .
Portanto, temos uma forma indeterminada
Passo 3
Pela regra de l’Hôpital, vamos derivar numerador e denominador em relação a
:
– Derivada de é
.
– Derivada de é
.
Assim,
– Derivada de
– Derivada de
Assim,
Passo 4
Agora avaliamos o limite direto:
e
quando
.
Logo,
Logo,
Resposta
O limite existe e vale
.