Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{3 x+8}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede estudar a existência e, caso existam, calcular \lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{3x+8}\Bigr)^{x} e \lim_{x\to-\infty}\Bigl(1+\frac{1}{3x+8}\Bigr)^{x}.
O conteúdo envolve limites exponenciais que levam à definição do número e.

Passo 2

Para \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{3x+8}\Bigr)^{x}, reescrevemos
\Bigl(1+\tfrac{1}{3x+8}\Bigr)^{x} =\Bigl[\bigl(1+\tfrac{1}{3x+8}\bigr)^{3x+8}\Bigr]^{\tfrac{x}{3x+8}}.
Quando x\to+\infty, tem-se 3x+8\to+\infty e pela definição
\lim_{y\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{y}\Bigr)^{y}=e.

Passo 3

Além disso
\frac{x}{3x+8}\;\longrightarrow\;\frac{1}{3} \quad\text{quando }x\to+\infty.
Logo
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{3x+8}\Bigr)^{x} =\;e^{1/3}.

Passo 4

Para \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\Bigl(1+\frac{1}{3x+8}\Bigr)^{x}, faça a troca t=-x, com t\to+\infty. Então
\Bigl(1+\tfrac{1}{3x+8}\Bigr)^{x} =\Bigl(1+\tfrac{1}{-3t+8}\Bigr)^{-t},
e repete-se o mesmo argumento de reescrever como potência de (3(-t)+8) e usar \lim_{u\to\pm\infty}(1+\tfrac{1}{u})^{u}=e.
O coeficiente na potência tende de novo a \tfrac{1}{3}, resultando em e^{1/3}.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{3x+8}\Bigr)^{x}=e^{1/3} \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{3x+8}\Bigr)^{x}=e^{1/3}

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