Questão 5 (1 ponto). Usando o Teorema do Valor Intermediário, prove que a equação abaixo admite solução no intervalo
:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando o Teorema do Valor Intermediário, que
tem pelo menos uma solução em
. O conteúdo principal é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que afirma que uma função contínua que muda de sinal em um intervalo atinge zero nesse intervalo. Para aplicar o TVI, vamos definir a função
e verificar continuidade e mudança de sinal em
.
Passo 2
Mostramos que
é contínua em
. A função
é contínua em
porque
nunca se anula ali. A exponencial de base 2,
, é contínua em
. Logo,
é contínua em
. O polinômio
também é contínuo, e a diferença de funções contínuas é contínua. Concluímos que
é contínua em .
é contínua em
Passo 3
Calculamos os valores de
nas extremidades:
Para ,
Para
Para
,
Portanto
e
.
Passo 4
Como
é contínua em
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
isto é,
Resposta
Pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário, a equação admite pelo menos uma solução em
.