Questão 5 (1 ponto). Usando o Teorema do Valor Intermediário, prove que a equação abaixo admite solução no intervalo [0,1] :
2^{\frac{x}{x+1}}=x^{3}+x^{2}+x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o Teorema do Valor Intermediário, que
2^{\frac{x}{x+1}} = x^3 + x^2 + x
tem pelo menos uma solução em [0,1]. O conteúdo principal é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que afirma que uma função contínua que muda de sinal em um intervalo atinge zero nesse intervalo. Para aplicar o TVI, vamos definir a função
f(x) = 2^{\frac{x}{\,x+1\,}} - \bigl(x^3 + x^2 + x\bigr)
e verificar continuidade e mudança de sinal em [0,1].

Passo 2

Mostramos que f é contínua em [0,1]. A função
x \mapsto \frac{x}{\,x+1\,}
é contínua em [0,1] porque x+1 nunca se anula ali. A exponencial de base 2, t\mapsto 2^t, é contínua em \mathbb{R}. Logo, x\mapsto 2^{\frac{x}{x+1}} é contínua em [0,1]. O polinômio x^3+x^2+x também é contínuo, e a diferença de funções contínuas é contínua. Concluímos que f(x)
é contínua em [0,1].

Passo 3

Calculamos os valores de f nas extremidades:
Para x=0,
f(0)=2^{\frac{0}{0+1}}-\bigl(0^3+0^2+0\bigr) =2^0-0=1>0.
Para x=1,
f(1)=2^{\frac{1}{1+1}}-\bigl(1^3+1^2+1\bigr) =2^{1/2}-3=\sqrt2-3\approx1,414-3<0.
Portanto f(0)>0 e f(1)<0.

Passo 4

Como f é contínua em [0,1] e f(0)\cdot f(1)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe c\in(0,1) tal que
f\text{(c)}=0,
isto é,
2^{\frac{c}{c+1}}=c^3+c^2+c.

Resposta

Pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário, a equação admite pelo menos uma solução em [0,1].

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