Considere a função f dada por f(x)=x+|-2|+|x-3|. Reescreva f sem utilizar o módulo e esboce seu gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a função
f(x)=x + \lvert -2\rvert + \lvert x-3\rvert
sem usar módulo e, em seguida, esboçar seu gráfico. O conteúdo envolvido é manipulação de valores absolutos, levando a uma definição por partes, e representação gráfica de funções piecewise.

Passo 2

Primeiro, note que
\lvert -2\rvert = 2,
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f(x)=x + 2 + \lvert x-3\rvert.

Passo 3

Agora tratamos o termo \lvert x-3\rvert em dois casos:
  1. Se x<3, então \lvert x-3\rvert = 3 - x. Substituindo em f:
f(x) = x + 2 + (3 - x) = 5.
  1. Se x\ge3, então \lvert x-3\rvert = x - 3. Substituindo em f:
f(x) = x + 2 + (x - 3) = 2x - 1.

Passo 4

Reunindo, a forma sem módulo é
f(x)= \begin{cases} 5, & x<3,\\\\ 2x - 1, & x\ge3. \end{cases}

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  • Para x<3, f(x)=5 é a reta horizontal y=5. Como o caso não inclui x=3, há um círculo aberto em (3,5).
  • Para x\ge3, f(x)=2x-1 é uma reta de inclinação 2 que passa por (3,5). Nesse ponto, faz-se um círculo fechado.
O gráfico fica contínuo, com uma constante até x=3 e, a partir daí, crescente de coeficiente angular 2.

Resposta

f(x)= \begin{cases} 5, & x<3,\\\\ 2x - 1, & x\ge3, \end{cases}
com gráfico: reta horizontal y=5 para x<3 (círculo aberto em (3,5)) e reta de inclinação 2 para x\ge3 (círculo fechado em (3,5)).

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