Considere a função f dada por f(x)=|x-1|+|x+1|. Reescreva f sem utilizar o módulo e esboce seu gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever sem módulo a função
f(x)=|x-1|+|x+1|,
identificando os trechos em que cada expressão dentro do valor absoluto muda de sinal, e depois esboçar o gráfico resultante.

Passo 2

As expressões x-1 e x+1 mudam de sinal em x=1 e x=-1. Logo, dividimos o domínio em três intervalos:
(-\infty,-1],\quad[-1,1],\quad[1,\infty).

Passo 3

Para x\le -1 temos x-1\le -2<0 e x+1\le 0.
Então
f(x)=-(x-1)\;+\;-(x+1)= -x+1 -x-1 = -2x.

Passo 4

Para -1\le x\le1 temos x-1\le0 e x+1\ge0.
Então
f(x)=-(x-1)\;+\;(x+1)= -x+1 +x+1 = 2.

Passo 5

Para x\ge1 temos x-1\ge0 e x+1\ge2>0.
Logo
f(x)=(x-1)+(x+1)= 2x.

Passo 6

Agrupando, a forma sem módulo é
f(x)= \begin{cases} -2x, & x\le -1,\\\\ 2, & -1\le x\le1,\\\\ 2x, & x\ge1. \end{cases}
O gráfico tem três pedaços:
  1. reta com inclinação -2 para a esquerda de x=-1, saindo de +\infty e atingindo o ponto (-1,2);
  2. segmento horizontal em y=2 entre (-1,2) e (1,2);
  3. reta com inclinação 2 para x\ge1, subindo a partir de (1,2).

Resposta

f(x)= \begin{cases} -2x, & x\le -1,\\\\ 2, & -1\le x\le1,\\\\ 2x, & x\ge1. \end{cases}
Gráfico: reta decrescente de coeficiente -2 até (-1,2), depois segmento horizontal em y=2 até (1,2), e a seguir reta crescente de coeficiente 2.

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