Determine o domínio das funções abaixo:
f(x)=\frac{1}{2 \pi-\sqrt{x^{2}-\pi}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x)=\frac{1}{2\pi-\sqrt{x^{2}-\pi}}.
Aqui vamos aplicar duas condições: (1) o radical deve existir, isto é, o radicando não pode ser negativo; (2) o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Para o radical existir, precisamos de
x^{2}-\pi\ge 0
isto é,
x^{2}\ge \pi \quad\Longrightarrow\quad x\le -\sqrt{\pi}\quad\text{ou}\quad x\ge \sqrt{\pi}.

Passo 3

Para o denominador não se anular, exigimos
2\pi-\sqrt{x^{2}-\pi}\neq 0
ou seja
\sqrt{x^{2}-\pi}\neq 2\pi \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-\pi\neq 4\pi^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\neq \pi+4\pi^{2}
portanto excluímos
x\neq \pm\sqrt{\pi+4\pi^{2}}.

Passo 4

Combinando as duas condições, primeiro temos
x\in(-\infty,-\sqrt{\pi}]\;\cup\;[\sqrt{\pi},\infty),
e em seguida removemos os pontos \displaystyle x=\pm\sqrt{\pi+4\pi^{2}}.

Resposta

\bigl(-\infty,-\sqrt{\pi+4\pi^{2}}\bigr)\;\cup\;\bigl(-\sqrt{\pi+4\pi^{2}},-\sqrt{\pi}\bigr]\;\cup\;[\sqrt{\pi},\sqrt{\pi+4\pi^{2}})\;\cup\;\bigl(\sqrt{\pi+4\pi^{2}},\infty\bigr).

Exercícios relacionados