Determine o domínio das funções abaixo:
f(x)=\frac{x}{\sin (x)}+\sqrt{x^{3}+8}+\sqrt[3]{x}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\frac{x}{\sin(x)}+\sqrt{x^{3}+8}+\sqrt[3]{x}.
Para cada parte de f precisamos verificar onde ela está bem-definida:
  1. \dfrac{x}{\sin(x)}: exige \sin(x)\neq0.
  2. \sqrt{x^3+8}: exige x^3+8\ge0.
  3. \sqrt[3]{x}: está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Analisando \dfrac{x}{\sin(x)}, o denominador não pode ser zero. Logo
\sin(x)\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Analisando \sqrt{x^3+8}, sob a raiz só podemos ter valores não negativos. Então
x^3+8\ge0\quad\Longrightarrow\quad x^3\ge-8\quad\Longrightarrow\quad x\ge-2.

Passo 4

A parte \sqrt[3]{x} não impõe restrição extra, pois a raiz cúbica está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

O domínio de f é a interseção das condições:
x\ge-2 \quad\text{e}\quad x\neq k\pi\,(k\in\mathbb{Z}).

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\bigl\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\ge-2\text{ e }x\neq k\pi\\ (k\in\mathbb{Z})\bigr\}.

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