Considere a função f definida por f(x) = { x^2 + 2a x + b + 15, se x < -1; 5, se x = -1; b x^3 - a x^2, se x > -1 }
Determine os valores de a e b para que a função f(x) seja contínua em R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é que a gente tem uma função definida por partes e precisamos descobrir os valores de e para que a função seja contínua em todos os números reais. Isso envolve entender o conceito de continuidade, que basicamente significa que não tem “buracos” ou “saltos” no gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função muda de definição. Olhando para o enunciado, vemos que a função tem três partes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
A gente precisa garantir que a função seja contínua no ponto , que é onde essas definições mudam.

Passo 3

Para a função ser contínua em , o limite da função quando se aproxima de pela esquerda tem que ser igual ao valor da função em , que por sua vez tem que ser igual ao limite quando se aproxima de pela direita. Em termos matemáticos:
Sabemos que , então precisamos que ambos os limites sejam iguais a 5.

Passo 4

Vamos calcular o limite quando se aproxima de pela esquerda ( ):
Substituindo :
Esse limite tem que ser igual a 5:
çã

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de pela direita ( ):
Substituindo :
Esse limite também tem que ser igual a 5:
çã

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar :

Passo 7

Com o valor de , vamos substituir na Equação 2 para encontrar :

Resposta

Os valores são e para que a função seja contínua em .

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