Considere a função definida por
Determine os valores de a e b para que a função f(x) seja contínua em R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é que a gente tem uma função definida por partes e precisamos descobrir os valores de e para que a função seja contínua em todos os números reais. Isso envolve entender o conceito de continuidade, que basicamente significa que não tem “buracos” ou “saltos” no gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função muda de definição. Olhando para o enunciado, vemos que a função tem três partes:
Para :
Para :
Para :
A gente precisa garantir que a função seja contínua no ponto , que é onde essas definições mudam.
Passo 3
Para a função ser contínua em , o limite da função quando se aproxima de pela esquerda tem que ser igual ao valor da função em , que por sua vez tem que ser igual ao limite quando se aproxima de pela direita. Em termos matemáticos:
Sabemos que , então precisamos que ambos os limites sejam iguais a 5.
Passo 4
Vamos calcular o limite quando se aproxima de pela esquerda ():
Substituindo :
Esse limite tem que ser igual a 5:
çã
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de pela direita ():
Substituindo :
Esse limite também tem que ser igual a 5:
çã
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar :
Passo 7
Com o valor de , vamos substituir na Equação 2 para encontrar :
Resposta
Os valores são e para que a função seja contínua em .