Sejam
e
duas funções definidas por
e
.
Determine
., sendo
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas funções:
e
. Nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
se aproxima de 6. Basicamente, precisamos entender como essas funções se compõem e aplicar conceitos de cálculo de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que a gente vai primeiro aplicar a função
em
e depois aplicar a função
no resultado. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Sabemos que:
Substituindo
:
Então,
. Mas atenção: como estamos falando de limites, precisamos ver o que acontece quando
se aproxima de 6, não necessariamente igual a 6.
Passo 4
Vamos agora analisar
quando
se aproxima de 6. Já vimos que
, então:
Portanto, precisamos encontrar:
Fazendo a substituição
, quando
,
. Então:
Ou seja, precisamos calcular
.
Passo 5
Vamos escrever a função
:
Lembrando que
, então:
Queremos calcular o limite quando
.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Observe que
tende a 0 quando
. Vamos definir
, então
. Substituindo:
Agora, a expressão fica:
Passo 7
Vamos analisar cada parte do limite separadamente. Primeiro, o denominador
:
Sabemos que quando
,
. Então:
Agora, substituindo de volta na expressão do limite:
Passo 8
Sabemos que
, então
. Assim, nossa expressão fica:
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 6 é
.