Sejam f e g duas funções definidas por g(x)=x-2 e f(x)=(x-4)^2e^x-e^4 cosec(x-4).
Determine lim x 6 h(x)., sendo h(x)=(f circ g)(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas funções: e . Nosso objetivo é encontrar o limite de quando se aproxima de 6. Basicamente, precisamos entender como essas funções se compõem e aplicar conceitos de cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a gente vai primeiro aplicar a função em e depois aplicar a função no resultado. Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos calcular g(x) = x - 2 . Sabemos que:
g(6) = 6 - 2 = 4
Substituindo :
Então, . Mas atenção: como estamos falando de limites, precisamos ver o que acontece quando se aproxima de 6, não necessariamente igual a 6.

Passo 4

Vamos agora analisar h(x) = f(g(x)) = f(x - 2) quando limx to 6 h(x) = limx to 6 f(x - 2) se aproxima de 6. Já vimos que limx to 6 f(x - 2) = limu to 4 f(u) , então:
Portanto, precisamos encontrar:
Fazendo a substituição , quando , . Então:
Ou seja, precisamos calcular .

Passo 5

Vamos escrever a função f(u) = (u-4)^2e^u-e^4 csc(u-4) :
f(u) = (u-4)^2e^u-e^4 cdot 1sin(u-4) = (u-4)^2(e^u-e^4) sin(u-4)
Lembrando que , então:
Queremos calcular o limite quando .

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Observe que f(u) = t^2e^4 + t - e^4 cdot 1sin(t) tende a 0 quando limt to 0 t^2e^4 + t - e^4 cdot 1sin(t) . Vamos definir , então . Substituindo:
Agora, a expressão fica:

Passo 7

Vamos analisar cada parte do limite separadamente. Primeiro, o denominador e^4 + t - e^4 = e^4(e^t - 1) :
e^4 + t - e^4 approx e^4 t
Sabemos que quando limt to 0 t^2e^4 t cdot 1sin(t) = limt to 0 te^4 cdot 1sin(t) , . Então:
Agora, substituindo de volta na expressão do limite:

Passo 8

Sabemos que limt to 0 te^4 cdot 1sin(t) = 1e^4 cdot limt to 0 tsin(t) = 1e^4 cdot 1 = 1e^4 , então . Assim, nossa expressão fica:

Resposta

O limite de quando se aproxima de 6 é .

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