Use a definição de continuidade para decidir se a função
f(x)= 1-e^3 sin xsin (2 x), & se x <= 0 x-lim x +infty(raizx+raizx-raizx+1), & se x>0
é contínua em x=0. Caso conclua que a função não é contínua em 0 classifique essa descontinuidade.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos verificar se a função é contínua em usando a definição de continuidade. A função é definida por duas expressões diferentes para e para . Para isso, vamos precisar calcular o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita, além do valor de .

Passo 2

Vamos encontrar f(0) = 1 - e^3 sin 0sin(2 cdot 0) = 1 - e^0sin(0) = 1 - 10 = 00 . Como , usamos a primeira expressão:
Essa expressão resulta em uma indeterminação, o que significa que precisamos usar limites para encontrar .

Passo 3

Vamos calcular o limite de limx to 0^- 1 - e^3 sin xsin(2x) quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Para resolver esse limite, podemos usar a regra de L’Hôpital, já que obtemos uma forma .

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Numerador: limx to 0^- -3 e^3 sin x cos x2 cos(2x)
Denominador: -3 e^0 cdot 12 cdot 1 = -3 cdot 1 cdot 12 cdot 1 = -32
Então, o limite se torna:
Agora, substituímos :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limx to 0^+ ( x - limx +infty ( raizx+raizx - raizx+1 ) ) quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Primeiro, precisamos resolver .

Passo 6

Vamos calcular (x + raizx) - (x + 1)raizx+raizx + raizx+1 = raizx - 1raizx+raizx + raizx+1 .
Podemos racionalizar essa expressão multiplicando e dividindo por 1 - 1raizxraiz1 + 1raizx + raiz1 + 1x :
1 - 0raiz1 + 0 + raiz1 + 0 = 11 + 1 = 12
Dividindo numerador e denominador por :
Quando , os termos e tendem a 0:

Passo 7

Voltando ao limite original:
limx to 0^+ ( x - 12 ) = 0 - 12 = -12

Passo 8

Agora, temos:
f(0) = -32, limx to 0^- f(x) = -32, limx to 0^+ f(x) = -12

Resposta

Como , a função não é contínua em . A descontinuidade é do tipo salto.

Exercícios relacionados