Use a definição de continuidade para decidir se a função
é contínua em
. Caso conclua que a função não é contínua em 0 classifique essa descontinuidade.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Precisamos verificar se a função
é contínua em
usando a definição de continuidade. A função é definida por duas expressões diferentes para
e para
. Para isso, vamos precisar calcular o limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita, além do valor de
.
Passo 2
Vamos encontrar
. Como
, usamos a primeira expressão:
Essa expressão resulta em uma indeterminação, o que significa que precisamos usar limites para encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Para resolver esse limite, podemos usar a regra de L’Hôpital, já que obtemos uma forma
.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então, o limite se torna:
Agora, substituímos
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita (
):
Primeiro, precisamos resolver
.
Passo 6
Vamos calcular
.
Podemos racionalizar essa expressão multiplicando e dividindo por
:
Dividindo numerador e denominador por
:
Quando
, os termos
e
tendem a 0:
Passo 7
Voltando ao limite original:
Passo 8
Agora, temos:
Resposta
Como
, a função
não é contínua em
. A descontinuidade é do tipo salto.