Considere a função f definida por f(x)=x|x|-x^2+x+|x|.
f é contínua em que pontos da reta?

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função definida por f(x)=x|x|-x^2+x+|x| em todos os pontos de R. O conteúdo envolvido é continuidade de funções polinomiais e valor absoluto, e vamos precisar usar que soma e produto de funções contínuas é contínua e analisar pontos onde |x| muda de expressão, ou seja, em x=0.

Passo 2

Primeiro, observamos que cada parcela de f(x) individualmente é contínua em todo R:
  • xmapsto x|x| é contínua (é produto de x e |x|, ambos contínuos),
  • xmapsto -x^2 é polinomial,
  • xmapsto x é polinomial,
  • xmapsto |x| é contínua,
    então fora de potenciais pontos de não-diferenciação de |x|, ou seja, x=0, não há problema de continuidade.

Passo 3

Para confirmar em x=0, escrevemos a forma de f(x) em cada região:
Para x<0:
f(x)=x|x|-x^2+x+|x|=-x^2-x^2+x- x=-2x^2
Para x>=0:
f(x)=x|x|-x^2+x+|x|=x^2-x^2+x+x=2x

Passo 4

Agora calculamos limite lateral em 0:
limxto0^-f(x)=limxto0^-(-2x^2)=0,
limxto0^+f(x)=limxto0^+(2x)=0
E o valor de f(0) é
f(0)=0cdot|0|-0^2+0+|0|=0
Como limites laterais são iguais entre si e iguais a f(0), a função é contínua em x=0.

Passo 5

Juntando tudo, f(x) é contínua em todos os pontos de R, pois cada termo é contínuo e não há descontinuidade remanescente em x=0.

Resposta

R

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