- Uma haste cilíndrica condutora de calor tem comprimento
e está termicamente isolada ao longo de sua superfície lateral, e suas extremidades estão mantidas à temperatura zero. Se a temperatura inicial da haste for
constante, formulando o Problema de Valor de Contorno, mostre que a temperatura
em qualquer instante posterior deve satisfazer
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá uma haste cilíndrica de comprimento
com superfície lateral termicamente isolada e extremidades mantidas à temperatura zero. A temperatura inicial em toda a haste é a constante
. O enunciado já sugere o PDE e as condições:
Perguntas que precisamos responder:
- Mostrar que a temperatura
satisfaz o problema de valor de contorno acima (ou seja, justificar o PDE e as condições, brevemente). - Encontrar explicitamente
e provar que ela pode ser escrita como
Passo 2
Rápida justificativa física do PDE e das condições (curta e intuitiva, para a prova).
- A equação do calor unidimensional em uma barra homogênea e fina (sem variação radial) é
onde
é a temperatura no ponto
e tempo
, e
é a difusividade térmica (constante do material). Aqui assumimos que a variação acontece só ao longo do eixo
porque a superfície lateral é isolada (não há troca de calor lateral) e a barra é homogênea.
- As condições de contorno
e vêm do enunciado (extremidades mantidas a temperatura zero). - A condição inicial é
(temperatura constante inicial).
Agora vamos resolver esse problema PDE-BC-IC por separação de variáveis e séries de Fourier (método padrão).
Passo 3
Aplicar separação de variáveis: suponha solução da forma
Substituindo na equação do calor:
Dividindo por
(assumindo
e
não nulos)
onde
é uma constante de separação (o mesmo valor para os dois lados). Isso gera dois ODEs:
Passo 4
Analisar os possíveis sinais de
e achar soluções compatíveis com as condições de contorno
,
.
-
Caso
: então e . As condições e dão e . Só a solução trivial — descartamos. -
Caso
: escrevemos com . Então
com solução
. Aplicando
dá
então
e
implica
. Isso força
(pois
), logo só solução trivial — descartamos.
- Caso
: escrevemos com . Então
solução geral
As condições
e
implicam:
. Então
. Em
:
Queremos
para solução não-trivial, então
, o que implica
Logo
e
As autofunções espaciais são, para cada
,
Passo 5
Resolver a parte temporal associada a cada modo
. Para
, a equação temporal é
Esta é uma ODE linear de primeira ordem com solução
Multiplicando pela parte espacial, cada modo separável dá a solução
Passo 6
Pela linearidade da equação do calor, a solução geral (soma das contribuições de todos os modos) é
onde os coeficientes
são determinados pela condição inicial
. Assim
Ou seja, devemos expandir a função constante
em série de senos na base orthogonal
.
Passo 7
Calcular os coeficientes
usando ortogonalidade das funções seno. A fórmula dos coeficientes da série de Fourier seno em
é
Como
é constante, podemos tirar fora do integral:
Calcule a integral passo a passo:
Sabendo que
e
, obtemos
Substituindo em
:
Passo 8
Interpretar o fator
:
- Se
é par, então e . - Se
é ímpar, então e
Logo apenas os modos ímpares aparecem na expansão.
Passo 9
Substituindo os coeficientes na soma geral, obtemos a solução explícita:
Essa soma é exatamente a mesma escrita como
Observações finais rápidas: cada termo decai exponencialmente com o fator
; portanto a solução tende a zero quando
, coerente com as extremidades mantidas a zero e dissipação do calor.