Considere a função
e faça o que se pede:
Plote, na mesma janela, o gráfico de
na cor vermelha. Insira grade e legenda.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que seja plotado, na mesma janela, o gráfico de
na cor vermelha, com grade e legenda. Informações relevantes dadas:
- A função a ser diferenciada é
. - Deve aparecer no mesmo gráfico a derivada
(em vermelho). - O gráfico precisa ter grade e legenda.
Passo 2
Calcular analiticamente a derivada: primeiro lembrar que
é a mesma coisa que
. Para derivar uma potência de uma função usa-se a regra da cadeia. A regra da cadeia diz, em palavras: se
, então
Aqui
, logo
. Aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Simplificar usando uma identidade trigonométrica útil: a identidade do ângulo duplo para o seno é
Portanto a derivada pode ser escrita de forma mais compacta como
Isso facilita interpretar o gráfico:
tem valores entre
e
, enquanto
oscila entre
e
.
Passo 4
Escolher o intervalo e a resolução para plotar. Um intervalo natural é
(que corresponde aproximadamente a
a
), porque mostra duas curvas completas do seno duplo e corresponde ao exemplo da figura fornecida. Para boa aparência escolhe-se uma malha densa, por exemplo
pontos, o que dá curvas suaves sem exigir calculadora.
Passo 5
Vou explicar passo a passo um código em Python com matplotlib (muito usado) que gera o gráfico pedido. Cada linha será comentada para você entender o que faz.
Código (copiar/colar num arquivo .py ou rodar em um Jupyter Notebook):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.pyplot as plt
definir o vetor x no intervalo [0, 2*pi] com boa resolução
x = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)
função f(x) = sin^2(x)
f = np.sin(x)**2
derivada analítica f’(x) = sin(2x)
df = np.sin(2*x)
plotar f(x) em azul (padrão) e f’(x) em vermelho
plt.plot(x, f, label=‘f(x)’)
plt.plot(x, df, ‘r’, label=‘df(x)’) # ‘r’ = cor vermelha
plt.plot(x, df, ‘r’, label=‘df(x)’) # ‘r’ = cor vermelha
adicionar grade e legenda
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.legend()
rótulos e limites do eixo x para ficar igual ao exemplo
plt.xlabel(‘x’)
plt.ylabel(‘y’)
plt.xlim(0, 2*np.pi)
plt.ylabel(‘y’)
plt.xlim(0, 2*np.pi)
mostrar o gráfico
plt.show()
Explicação das linhas importantes:
-
np.linspace(…) cria os pontos onde as funções serão avaliadas. -
computa ponto a ponto. -
usa a forma simplificada da derivada. - plt.plot(…) desenha as curvas; o segundo plot usa ‘r’ para forçar cor vermelha.
- plt.grid(True) ativa a grade; plt.legend() mostra a legenda com os rótulos dados em label.
Passo 6
Verificações rápidas (para entender o resultado):
- Em
tem-se e . - Em
tem-se e .
Esses pontos ajudam a confirmar que o gráfico mostrado pelo código está correto: a derivada atingeonde a função cresce mais rapidamente.
Passo 7
Se preferir MATLAB/Octave, o esqueleto do código é equivalente:
x = linspace(0, 2pi, 400);
f = sin(x).^2;
df = sin(2x);
plot(x, f, ‘b’, x, df, ‘r’);
grid on;
legend(‘f(x)’,‘df(x)’);
xlabel(‘x’); ylabel(‘y’);
xlim([0 2*pi]);
f = sin(x).^2;
df = sin(2x);
plot(x, f, ‘b’, x, df, ‘r’);
grid on;
legend(‘f(x)’,‘df(x)’);
xlabel(‘x’); ylabel(‘y’);
xlim([0 2*pi]);
Isso produz o mesmo gráfico:
em azul e
em vermelho, com grade e legenda.
Resposta
Código Python para gerar o gráfico:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(0, 2np.pi, 400)
f = np.sin(x)**2
df = np.sin(2x)
plt.plot(x, f, label=‘f(x)’)
plt.plot(x, df, ‘r’, label=‘df(x)’)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.xlabel(‘x’)
plt.ylabel(‘y’)
plt.xlim(0, 2*np.pi)
plt.show()
f = np.sin(x)**2
df = np.sin(2x)
plt.plot(x, f, label=‘f(x)’)
plt.plot(x, df, ‘r’, label=‘df(x)’)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.xlabel(‘x’)
plt.ylabel(‘y’)
plt.xlim(0, 2*np.pi)
plt.show()