Considere a função f e faça o que se pede:
f(x)=\sin ^{2}(x)
Plote, na mesma janela, o gráfico de f^{\prime}(x) na cor vermelha. Insira grade e legenda.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sin^{2}(x)
e pede que seja plotado, na mesma janela, o gráfico de f'(x) na cor vermelha, com grade e legenda. Informações relevantes dadas:
  • A função a ser diferenciada é \sin^{2}(x).
  • Deve aparecer no mesmo gráfico a derivada f'(x) (em vermelho).
  • O gráfico precisa ter grade e legenda.

Passo 2

Calcular analiticamente a derivada: primeiro lembrar que \sin^{2}(x) é a mesma coisa que (\sin x)^{2}. Para derivar uma potência de uma função usa-se a regra da cadeia. A regra da cadeia diz, em palavras: se g(x)=h(x)^{2}, então
g'(x)=2\,h(x)\,h'(x).
Aqui h(x)=\sin x, logo h'(x)=\cos x. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\sin^{2}(x)=2\sin x\cos x.

Passo 3

Simplificar usando uma identidade trigonométrica útil: a identidade do ângulo duplo para o seno é
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
Portanto a derivada pode ser escrita de forma mais compacta como
f'(x)=\sin(2x).
Isso facilita interpretar o gráfico: f(x)=\sin^{2}(x) tem valores entre 0 e 1, enquanto f'(x)=\sin(2x) oscila entre -1 e 1.

Passo 4

Escolher o intervalo e a resolução para plotar. Um intervalo natural é x\in[0,2\pi] (que corresponde aproximadamente a 0 a 6{,}28), porque mostra duas curvas completas do seno duplo e corresponde ao exemplo da figura fornecida. Para boa aparência escolhe-se uma malha densa, por exemplo 400 pontos, o que dá curvas suaves sem exigir calculadora.

Passo 5

Vou explicar passo a passo um código em Python com matplotlib (muito usado) que gera o gráfico pedido. Cada linha será comentada para você entender o que faz.
Código (copiar/colar num arquivo .py ou rodar em um Jupyter Notebook):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

definir o vetor x no intervalo [0, 2*pi] com boa resolução

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 400)

função f(x) = sin^2(x)

f = np.sin(x)**2

derivada analítica f’(x) = sin(2x)

df = np.sin(2*x)

plotar f(x) em azul (padrão) e f’(x) em vermelho

plt.plot(x, f, label=‘f(x)’)
plt.plot(x, df, ‘r’, label=‘df(x)’) # ‘r’ = cor vermelha

adicionar grade e legenda

plt.grid(True)
plt.legend()

rótulos e limites do eixo x para ficar igual ao exemplo

plt.xlabel(‘x’)
plt.ylabel(‘y’)
plt.xlim(0, 2*np.pi)

mostrar o gráfico

plt.show()
Explicação das linhas importantes:
  • x = np.linspace(…) cria os pontos onde as funções serão avaliadas.
  • f = \sin(x)**2 computa \sin^{2}(x) ponto a ponto.
  • df = \sin(2*x) usa a forma simplificada da derivada.
  • plt.plot(…) desenha as curvas; o segundo plot usa ‘r’ para forçar cor vermelha.
  • plt.grid(True) ativa a grade; plt.legend() mostra a legenda com os rótulos dados em label.

Passo 6

Verificações rápidas (para entender o resultado):
  • Em x=0 tem-se f(0)=\sin^{2}(0)=0 e f'(0)=\sin(0)=0.
  • Em x=\pi/4 tem-se f(\pi/4)=\sin^{2}(\pi/4)=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{2} e f'(\pi/4)=\sin(\pi/2)=1.
    Esses pontos ajudam a confirmar que o gráfico mostrado pelo código está correto: a derivada atinge 1 onde a função \sin^{2}(x) cresce mais rapidamente.

Passo 7

Se preferir MATLAB/Octave, o esqueleto do código é equivalente:
x = linspace(0, 2pi, 400);
f = sin(x).^2;
df = sin(2
x);
plot(x, f, ‘b’, x, df, ‘r’);
grid on;
legend(‘f(x)’,‘df(x)’);
xlabel(‘x’); ylabel(‘y’);
xlim([0 2*pi]);
Isso produz o mesmo gráfico: f(x) em azul e f'(x) em vermelho, com grade e legenda.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\sin(2x)
Código Python para gerar o gráfico:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(0, 2np.pi, 400)
f = np.sin(x)**2
df = np.sin(2
x)
plt.plot(x, f, label=‘f(x)’)
plt.plot(x, df, ‘r’, label=‘df(x)’)
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.xlabel(‘x’)
plt.ylabel(‘y’)
plt.xlim(0, 2*np.pi)
plt.show()

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