Considere a função
e faça o que se pede:
Plote o gráfico de
no intervalo
com passo
na cor azul.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- A função dada é
. - O intervalo para o gráfico é
. - O passo entre pontos deve ser
. - O gráfico deve ser na cor azul.
- Há uma imagem anexa (descrita depois na seção de imagens), mas a tarefa principal é gerar o gráfico de
no intervalo e com o passo especificados.
Passo 2
Entendendo o passo e quantos pontos teremos:
- O passo é
. - O comprimento do intervalo é
. - O número de subintervalos é
. - Portanto, teremos
subintervalos e pontos amostrados (incluindo os extremos e ). - Os pontos de abscissa são
com .
Passo 3
Como calcular os valores de
nos pontos amostrados:
- Para cada
calcule . - Lembrete útil (identidade):
. Isso é matematicamente equivalente e às vezes útil numericamente, mas não é obrigatório — pode-se usar a função seno e elevar ao quadrado. - Explicando de forma bem direta: para cada
faça e depois . Esses pares serão o que vamos plotar.
Passo 4
Exemplo prático de código em Python (matplotlib). Este bloco gera exatamente o gráfico pedido: passos
, intervalo
e linha azul.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
h = np.pi/20
x = np.arange(0, 2*np.pi + 1e-12, h) # +1e-12 para garantir inclusão de 2π por causa de ponto flutuante
y = np.sin(x)**2
plt.figure()
plt.plot(x, y, color='blue', linewidth=1.5, label=r'\(f(x)=\sin^{2}(x)\)')
plt.xlim(0, 2*np.pi)
plt.ylim(0, 1.05)
plt.xlabel(r'\(x\)')
plt.ylabel(r'\(f(x)\)')
plt.title('Gráfico de \(f(x)=\sin^{2}(x)\) em \([0,2\pi]\) (passo \(\pi/20\))')
plt.grid(True)
plt.legend()
# opcional: ticks em múltiplos de π
plt.xticks([0, np.pi/2, np.pi, 3*np.pi/2, 2*np.pi],
[r'\(0\)', r'\(\tfrac{\pi}{2}\)', r'\(\pi\)', r'\(\tfrac{3\pi}{2}\)', r'\(2\pi\)'])
plt.show()
- Observação: usei
com um pequeno ajuste só para evitar perder o ponto final por erros de precisão.
Passo 5
Exemplo prático de código em MATLAB/Octave. Faz o mesmo em poucas linhas:
h = pi/20;
x = 0:h:2*pi; % cria os 41 pontos de 0 a 2pi
y = sin(x).^2; % nota o .^ para potência elemento-a-elemento
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 1.5)
xlim([0 2*pi])
ylim([0 1.05])
xticks([0 pi/2 pi 3*pi/2 2*pi])
xticklabels({'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'})
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('f(x)=sin^{2}(x) em [0,2\pi], passo \pi/20')
grid on
legend('f(x)')
- Em MATLAB usei o operador elemento-a-elemento
.^para garantir que a operação de elevar ao quadrado seja feita ponto a ponto.
Passo 6
Checagens rápidas e interpretação para a prova:
- Primeiro ponto:
. Então . - Segundo ponto:
. Pode-se calcular numericamente e elevar ao quadrado para obter . - Ponto médio interessante:
quando porque . Então . - Ponto final:
e . - Assim, o gráfico mostra uma curva periódica que oscila entre
e com dois picos em (em e as máximas e em as mínimas).
Passo 7
Dicas práticas para a prova ou tarefas rápidas:
- Se for pedido apenas o gráfico, os comandos acima são suficientes; não é necessário derivar analiticamente nada.
- Se quiser economia de operações, pode usar a identidade
e plotar . - Se precisar entregar a figura, salvar com alta resolução: em Python
plt.savefig('sin2_plot.png', dpi=300); em MATLABprint('-dpng','-r300','sin2_plot.png').
Resposta
Segue um exemplo de código pronto (Python) que plota
em
com passo
em azul:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
h = np.pi/20
x = np.arange(0, 2*np.pi + 1e-12, h)
y = np.sin(x)**2
plt.figure()
plt.plot(x, y, color='blue', linewidth=1.5, label=r'\(f(x)=\sin^{2}(x)\)')
plt.xlim(0, 2*np.pi)
plt.ylim(0, 1.05)
plt.xlabel(r'\(x\)')
plt.ylabel(r'\(f(x)\)')
plt.title('Gráfico de \(f(x)=\sin^{2}(x)\) em \([0,2\pi]\) (passo \(\pi/20\))')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.xticks([0, np.pi/2, np.pi, 3*np.pi/2, 2*np.pi],
[r'\(0\)', r'\(\tfrac{\pi}{2}\)', r'\(\pi\)', r'\(\tfrac{3\pi}{2}\)', r'\(2\pi\)'])
plt.show()