Considere a função f e faça o que se pede:
f(x)=\sin ^{2}(x)
Plote o gráfico de f no intervalo x=[0,2 \pi] com passo \pi / 20 na cor azul.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • A função dada é f(x)=\sin^{2}(x).
  • O intervalo para o gráfico é x=[0,2\pi].
  • O passo entre pontos deve ser \pi/20.
  • O gráfico deve ser na cor azul.
  • Há uma imagem anexa (descrita depois na seção de imagens), mas a tarefa principal é gerar o gráfico de f no intervalo e com o passo especificados.

Passo 2

Entendendo o passo e quantos pontos teremos:
  • O passo é h=\pi/20.
  • O comprimento do intervalo é 2\pi-0=2\pi.
  • O número de subintervalos é \dfrac{2\pi}{h}=\dfrac{2\pi}{\pi/20}=40.
  • Portanto, teremos 40 subintervalos e 40+1=41 pontos amostrados (incluindo os extremos 0 e 2\pi).
  • Os pontos de abscissa são \;x_k=0+k\cdot h\; com k=0,1,\dots,40.

Passo 3

Como calcular os valores de f nos pontos amostrados:
  • Para cada x_k calcule f(x_k)=\sin^{2}(x_k).
  • Lembrete útil (identidade): \sin^{2}(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}. Isso é matematicamente equivalente e às vezes útil numericamente, mas não é obrigatório — pode-se usar a função seno e elevar ao quadrado.
  • Explicando de forma bem direta: para cada x_k faça s_k=\sin(x_k) e depois y_k=s_k^{2}. Esses pares (x_k,y_k) serão o que vamos plotar.

Passo 4

Exemplo prático de código em Python (matplotlib). Este bloco gera exatamente o gráfico pedido: passos \pi/20, intervalo [0,2\pi] e linha azul.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

h = np.pi/20
x = np.arange(0, 2*np.pi + 1e-12, h)   # +1e-12 para garantir inclusão de 2π por causa de ponto flutuante
y = np.sin(x)**2

plt.figure()
plt.plot(x, y, color='blue', linewidth=1.5, label=r'\(f(x)=\sin^{2}(x)\)')
plt.xlim(0, 2*np.pi)
plt.ylim(0, 1.05)
plt.xlabel(r'\(x\)')
plt.ylabel(r'\(f(x)\)')
plt.title('Gráfico de \(f(x)=\sin^{2}(x)\) em \([0,2\pi]\) (passo \(\pi/20\))')
plt.grid(True)
plt.legend()
# opcional: ticks em múltiplos de π
plt.xticks([0, np.pi/2, np.pi, 3*np.pi/2, 2*np.pi],
           [r'\(0\)', r'\(\tfrac{\pi}{2}\)', r'\(\pi\)', r'\(\tfrac{3\pi}{2}\)', r'\(2\pi\)'])
plt.show()
  • Observação: usei \texttt{np.arange} com um pequeno ajuste \texttt{+1e-12} só para evitar perder o ponto final por erros de precisão.

Passo 5

Exemplo prático de código em MATLAB/Octave. Faz o mesmo em poucas linhas:
h = pi/20;
x = 0:h:2*pi;       % cria os 41 pontos de 0 a 2pi
y = sin(x).^2;      % nota o .^ para potência elemento-a-elemento
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 1.5)
xlim([0 2*pi])
ylim([0 1.05])
xticks([0 pi/2 pi 3*pi/2 2*pi])
xticklabels({'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'})
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('f(x)=sin^{2}(x) em [0,2\pi], passo \pi/20')
grid on
legend('f(x)')
  • Em MATLAB usei o operador elemento-a-elemento .^ para garantir que a operação de elevar ao quadrado seja feita ponto a ponto.

Passo 6

Checagens rápidas e interpretação para a prova:
  • Primeiro ponto: x_0=0. Então f(0)=\sin^{2}(0)=0.
  • Segundo ponto: x_1=\pi/20. Pode-se calcular numericamente \sin(\pi/20) e elevar ao quadrado para obter f(x_1).
  • Ponto médio interessante: x_{10}=\pi/2 quando k=10 porque 10\cdot(\pi/20)=\pi/2. Então f(\pi/2)=\sin^{2}(\pi/2)=1.
  • Ponto final: x_{40}=2\pi e f(2\pi)=0.
  • Assim, o gráfico mostra uma curva periódica que oscila entre 0 e 1 com dois picos em [0,2\pi] (em \pi/2 e 3\pi/2 as máximas e em 0,\pi,2\pi as mínimas).

Passo 7

Dicas práticas para a prova ou tarefas rápidas:
  • Se for pedido apenas o gráfico, os comandos acima são suficientes; não é necessário derivar analiticamente nada.
  • Se quiser economia de operações, pode usar a identidade \sin^{2}(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2} e plotar y=(1-\cos(2x))/2.
  • Se precisar entregar a figura, salvar com alta resolução: em Python plt.savefig('sin2_plot.png', dpi=300); em MATLAB print('-dpng','-r300','sin2_plot.png').

Resposta

Segue um exemplo de código pronto (Python) que plota f(x)=\sin^{2}(x) em [0,2\pi] com passo \pi/20 em azul:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

h = np.pi/20
x = np.arange(0, 2*np.pi + 1e-12, h)
y = np.sin(x)**2

plt.figure()
plt.plot(x, y, color='blue', linewidth=1.5, label=r'\(f(x)=\sin^{2}(x)\)')
plt.xlim(0, 2*np.pi)
plt.ylim(0, 1.05)
plt.xlabel(r'\(x\)')
plt.ylabel(r'\(f(x)\)')
plt.title('Gráfico de \(f(x)=\sin^{2}(x)\) em \([0,2\pi]\) (passo \(\pi/20\))')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.xticks([0, np.pi/2, np.pi, 3*np.pi/2, 2*np.pi],
           [r'\(0\)', r'\(\tfrac{\pi}{2}\)', r'\(\pi\)', r'\(\tfrac{3\pi}{2}\)', r'\(2\pi\)'])
plt.show()

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