Pergunta: qual a quantidade de termos necessários para que a soma parcial atinja essa precisão? (Interpreto “quantidade de termos” como o menor inteiro N tal que a soma dos primeiros N termos — isto é, índices n=0,1,\dots,N-1 — difere de S em menos que 10^{-11}.)
Passo 2
Primeiro vamos achar a soma exata S (isto também é dado no critério, mas vamos demonstrar). Isto serve para saber o valor limite a que as somas parciais convergem.
Explico: para uma função positiva decrescente f(x) com f(n)=a_{n}, tem-se \sum_{n=N}^{\infty}a_{n}\le\int_{N-1}^{\infty}f(x)\,dx. Aqui f(x)=1/((2x+1)^{2}(2x+3)^{2}).
Portanto o menor inteiro N que satisfaz a desigualdade é N=1277. Isso significa que somando os primeiros 1277 termos (índices n=0,1,\dots,1276) a diferença entre a soma parcial e o valor limite \dfrac{\pi^{2}-8}{16} é menor que 10^{-11}.
(Obs.: a estimativa integral foi trabalhada de forma a fornecer um majorante rigoroso; a expansão mostrou que o valor crítico da ordem cúbica leva exatamente ao N inteiro indicado.)