Considere a função f:] 1, \infty[\rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=1 /(x-1).
(a) Mostre que f não é uniformemente contínua.
(b) Mostre que f restrito ao intervalo [ 2, \infty [ é uniformemente contínua.

Passo 1

Vamos resumir o problema e lembrar a definição de continuidade uniforme. Temos a função
f:(1,\infty)\to\mathbb{R}, \quad f(x)=\frac1{x-1}.
Dizemos que f é uniformemente contínua em um domínio D se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para quaisquer x,y\in D,
|x-y|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(y)|<\varepsilon.
Nos itens, a) queremos mostrar que isso não vale em D=(1,\infty) e b) que vale em D=[2,\infty).

Passo 2

Prova de que f não é uniformemente contínua em (1,\infty).
Suponha, por absurdo, que f fosse uniformemente contínua em (1,\infty). Então, para \varepsilon=1, existe um \delta>0 tal que
|x-y|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x)-f(y)\bigr|<1.
Escolha um inteiro N grande com
\frac1N<\delta.
Defina
x=1+\frac1N, \quad y=1+\frac2N.
Então |x-y|=1/N<\delta. Mas
f(x)=\frac1{x-1}=N, \quad f(y)=\frac1{y-1}=\frac N2,
logo
|f(x)-f(y)|=N-\frac N2=\frac N2.
Como podemos escolher N tão grande que \tfrac N2\ge1, isto contradiz |f(x)-f(y)|<1. Portanto f não é uniformemente contínua em (1,\infty).

Passo 3

Prova de que f é uniformemente contínua em [2,\infty).
Em [2,\infty) temos x-1\ge1, então a derivada
f'(x)=-\frac1{(x-1)^2}
satisfaz |f'(x)|\le1 em todo o intervalo. Pelo Teorema de Lagrange, para quaisquer x,y\ge2 existe \xi entre x e y tal que
|f(x)-f(y)| = |f'(\xi)|\;|x-y|\le1\cdot|x-y|=|x-y|.
Logo f é Lipschitziana de constante 1 em [2,\infty), o que implica continuidade uniforme: dado \varepsilon>0, basta tomar \delta=\varepsilon.

Resposta

(a) f não é uniformemente contínua em (1,\infty).
(b) A restrição de f a [2,\infty) é uniformemente contínua.

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