Mostre que a função f:[0, \infty[\rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\sqrt{x} é uniformemente contínua.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos mostrar que a função
f\colon [0,\infty)\to\mathbb{R},\quad f(x)=\sqrt{x}
é uniformemente contínua. O conteúdo é a definição de continuidade uniforme e um truque algébrico para comparar \bigl|\sqrt{x}-\sqrt{y}\bigr| com \lvert x-y\rvert.

Passo 2

Lembrando a definição: f é uniformemente contínua em [0,\infty) se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para quaisquer x,y\in[0,\infty),
|x-y|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x)-f(y)\bigr|<\varepsilon.

Passo 3

Vamos estimar \bigl|\sqrt{x}-\sqrt{y}\bigr|. Sem perda de generalidade, suponha x\ge y. Então
\bigl|\sqrt{x}-\sqrt{y}\bigr| =\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.

Passo 4

Agora usamos duas desigualdades:
  1. Como \sqrt{x}+\sqrt{y}\ge\sqrt{x}, temos
\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \le\frac{x-y}{\sqrt{x}}.
  1. Em seguida, para \Delta=x-y\ge0, vale
\frac{\Delta}{\sqrt{x}}\le\frac{\Delta}{\sqrt{\Delta}} =\sqrt{\Delta}.
Logo
\bigl|\sqrt{x}-\sqrt{y}\bigr|\le\sqrt{x-y} =\sqrt{|x-y|}.

Passo 5

Dado \varepsilon>0, escolha
\delta=\varepsilon^2.
Se |x-y|<\delta, então
\bigl|f(x)-f(y)\bigr| =\bigl|\sqrt{x}-\sqrt{y}\bigr| \le\sqrt{|x-y|} <\sqrt{\varepsilon^2} =\varepsilon.
Isto mostra, pela definição, que f é uniformemente contínua em [0,\infty).

Resposta

A função f(x)=\sqrt{x} é uniformemente contínua em [0,\infty).

Exercícios relacionados