Mostre que a função f:] 0,1] \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\sin (1 / x) não é uniformemente contínua.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon(0,1]\to\mathbb{R},\quad f(x)=\sin\!\bigl(1/x\bigr),
e pede para mostrar que f não é uniformemente contínua. Para isso, vamos usar a definição de continuidade uniforme e sua negação.

Passo 2

Lembrando que f é uniformemente contínua se, e somente se,
\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\;\text{tal que}\;|x-y|<\delta\implies\bigl|f(x)-f(y)\bigr|<\varepsilon
para todos x,y\in(0,1]. A negação dessa condição é:
\exists \varepsilon_0>0\;\forall \delta>0\;\exists x,y\in(0,1]\;\text{com}\;|x-y|<\delta\;\text{e}\;\bigl|f(x)-f(y)\bigr|\ge\varepsilon_0.

Passo 3

Escolhemos
\varepsilon_0 = 1.
Agora, para cada \delta>0, teremos de encontrar x,y em (0,1] que violem a desigualdade \bigl|f(x)-f(y)\bigr|<1 apesar de estarem à distância menor que \delta.

Passo 4

Definimos duas sequências que se aproximam de zero, mas com valores de \sin(1/x) em extremos opostos:
x_n = \frac{1}{\tfrac{\pi}{2} + 2\pi n}, \quad y_n = \frac{1}{\tfrac{3\pi}{2} + 2\pi n},
para n\in\mathbb{N}.

Passo 5

Calculamos
f(x_n) = \sin\!\bigl(1/x_n\bigr) = \sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\Bigr) = 1,
f(y_n) = \sin\!\bigl(1/y_n\bigr) = \sin\!\Bigl(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n\Bigr) = -1.
Logo
\bigl|f(x_n)-f(y_n)\bigr| = |1 - (-1)| = 2 \ge 1 = \varepsilon_0.

Passo 6

Agora mostramos que |x_n - y_n|\to0. De fato,
|x_n - y_n| = \left|\frac{1}{\tfrac{\pi}{2}+2\pi n} - \frac{1}{\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n}\right| = \frac{\pi}{\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\bigr)\bigl(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n\bigr)}.
Para n grande, ambos os fatores do denominador crescem como 2\pi n, então
|x_n - y_n| \le \frac{\pi}{(2\pi n)^2} = \frac{1}{4\pi\,n^2}\;\longrightarrow\;0.

Passo 7

Dado qualquer \delta>0, escolha n suficientemente grande para que |x_n-y_n|<\delta. Com isso, temos
|x_n - y_n| < \delta \quad\text{e}\quad |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0 = 1,
provando a negação da continuidade uniforme.

Resposta

A função f(x)=\sin(1/x) não é uniformemente contínua em (0,1].

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