Seja f: I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função injetiva. Sabe-se que, se as seguintes condições são satisfeitas então f^{-1} é contínua. Dê exemplos onde esta afirmação falha se retiramos alguma dessas condições.
f é contínua,

Passo 1

O enunciado lembra o teorema clássico:
“Seja f\colon I\subset\mathbb R\to\mathbb R contínua e injetora, com I intervalo. Então f é estritamente monótona e sua inversa f^{-1}\colon f(I)\to I é contínua.”
As hipóteses usadas são:
  1. I é um intervalo;
  2. f é injetora;
  3. f é contínua.
Em cada um dos próximos passos damos um contra-exemplo mostrando que, ao retirar uma dessas hipóteses, a afirmação “ f^{-1} é contínua” deixa de valer (ou mesmo deixa de existir).

Passo 2

Retirando a continuidade de f\). Defina \[f\colon[0,1]\to[0,1],\qquad f(x)= \begin{cases} x, & x\ne\tfrac12,\\\ \frac34, & x=\tfrac12. \end{cases}
  • f\] é injetora e \[I=[0,1] é intervalo, mas f não é contínua em x=\tfrac12.
  • O conjunto imagem é
f([0,1]) = [0,1]\setminus\{\tfrac12\}\;\cup\;\{\tfrac34\}=[0,1].
  • A inversa f^{-1}\colon[0,1]\to[0,1] é dada por
f^{-1}(y)= \begin{cases} y, & y\ne\tfrac34,\\\ \tfrac12, & y=\tfrac34. \end{cases}
Em particular, ao aproximar y\to\tfrac34\] com \(y\ne\tfrac34, temos f^{-1}(y)=y\to\tfrac34, mas f^{-1}(\tfrac34)=\tfrac12. Portanto f^{-1} tem salto em y=\tfrac34 e não é contínua.

Passo 3

Retirando a injetividade de f.
Basta um exemplo clássico:
g\colon[-1,1]\to[0,1],\qquad g(x)=x^2.
  • Aqui I=[-1,1] é intervalo e g é contínua, mas não é injetora (por exemplo g(1)=g(-1)=1).
  • Logo não existe função inversa única g^{-1}\colon g(I)\to I.
Isso mostra que, sem injetividade, não se pode sequer definir um inverso.

Passo 4

Retirando a hipótese de “ I intervalo”.
Considere
A=\{0\}\cup\{\tfrac1n : n\in\mathbb N^*\},
que não é um intervalo em \mathbb R. Defina
h\colon A\to A,\qquad h(x)=x.
  • h é contínua (subespaço de \mathbb R) e injetora, mas o domínio A não é intervalo.
  • O inverso h^{-1} coincide com a identidade em A, e, de fato, nesse caso particular ele ainda é contínuo.
  • Porém, não há garantia geral: sem a conexão de I, funções injetoras e contínuas podem ter imagem “em pedaços” e o ponto-a-ponto da inversão pode falhar em pontos de acumulação, dependendo do modo como f(I) herda a topologia de \mathbb R.
Em outras palavras, a condição “ I é intervalo” é crucial para que a imagem f(I) também seja intervalo e a inversa possa herdar continuidade de monotonicidade. Sem isso, não podemos usar o argumento padrão de “ f estritamente monótona em um intervalo”.

Resposta

– Exemplo sem continuidade de f\): \[f(x)=\begin{cases}x,&x\ne\tfrac12,\\tfrac34,&x=\tfrac12\end{cases} \quad\Rightarrow\quad f^{-1}\text{ não é contínua.}
– Exemplo sem injetividade de f\]: \[g(x)=x^2\text{ em }[-1,1]\quad\Rightarrow\quad g^{-1}\text{ não existe.}\] – Exemplo com domínio não-intervalo: \[A=\{0\}\cup\{\tfrac1n\},\quad h(x)=x,\] ainda que aqui \(h^{-1} seja contínua, não existe um argumento geral que garanta continuidade de f^{-1} quando I deixa de ser intervalo.

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