Seja
uma função injetiva. Sabe-se que, se as seguintes condições são satisfeitas então
é contínua. Dê exemplos onde esta afirmação falha se retiramos alguma dessas condições.
é contínua,
Passo 1
O enunciado lembra o teorema clássico:
“Seja contínua e injetora, com
intervalo. Então
é estritamente monótona e sua inversa
é contínua.”
As hipóteses usadas são:
“Seja
As hipóteses usadas são:
-
é um intervalo; -
é injetora; -
é contínua.
Em cada um dos próximos passos damos um contra-exemplo mostrando que, ao retirar uma dessas hipóteses, a afirmação “
é contínua” deixa de valer (ou mesmo deixa de existir).
Passo 2
Retirando a continuidade de
-
é intervalo, mas
não é contínua em . - O conjunto imagem é
- A inversa
é dada por
Em particular, ao aproximar
, temos
, mas
. Portanto
tem salto em
e não é contínua.
Passo 3
Retirando a injetividade de
.
Basta um exemplo clássico:
Basta um exemplo clássico:
- Aqui
é intervalo e é contínua, mas não é injetora (por exemplo ). - Logo não existe função inversa única
.
Isso mostra que, sem injetividade, não se pode sequer definir um inverso.
Passo 4
Retirando a hipótese de “
intervalo”.
Considere
Considere
que não é um intervalo em
. Defina
-
é contínua (subespaço de ) e injetora, mas o domínio não é intervalo. - O inverso
coincide com a identidade em , e, de fato, nesse caso particular ele ainda é contínuo. - Porém, não há garantia geral: sem a conexão de
, funções injetoras e contínuas podem ter imagem “em pedaços” e o ponto-a-ponto da inversão pode falhar em pontos de acumulação, dependendo do modo como herda a topologia de .
Em outras palavras, a condição “
é intervalo” é crucial para que a imagem
também seja intervalo e a inversa possa herdar continuidade de monotonicidade. Sem isso, não podemos usar o argumento padrão de “
estritamente monótona em um intervalo”.
Resposta
– Exemplo sem continuidade de
– Exemplo sem injetividade de
seja contínua, não existe um argumento geral que garanta continuidade de
quando
deixa de ser intervalo.