- Considere a função
dada por
(a) (
pts) Mostre que
é injetora, justificando sua resposta.
(b) (
pts) Determine
e decida se
é, ou não, sobrejetora. Justifique sua resposta.
(b) (
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas são:
(a) Mostrar que é injetora, com justificativa.
(b) Determinar (a imagem) e dizer se
é sobrejetora (explicar).
(a) Mostrar que
(b) Determinar
Passo 2
Definição e plano para (a). Lembra que a função
é injetora se, para quaisquer
do domínio, a igualdade
implica
.
Vou usar o método algébrico direto: assumir , fazer manipulações (cruzar multiplicações, isolar termos) e mostrar que isso obriga
. Escolhi esse método porque é elementar, não requer derivadas e funciona bem para frações racionais como essa.
Vou usar o método algébrico direto: assumir
Passo 3
Prova algébrica da injetividade. Seja
e suponha
Fazendo produto cruzado (válido porque
e
pelo domínio),
Agora expandir ambos os lados:
Subtrai-se
e
de ambos os lados, ficando
Reorganizando o lado direito para o esquerdo:
Divide-se por
:
logo
. Isso mostra que
é injetora.
Passo 4
Comentário extra (opcional) — alternativa com derivada. Se alguém conhecer cálculo, pode notar que
e como
para todo
do domínio,
é estritamente crescente e portanto injetora. Isto é só outro caminho; a prova algébrica anterior é suficiente sem cálculo.
Passo 5
Plano para (b). Para achar
resolvo a equação
para
em função de
, e verifico quais valores de
são possíveis. Vou também checar se há algum
no contradomínio
que não tem antecessor (o que tornaria
não sobrejetora).
Passo 6
Resolver
para
. Começo com produto cruzado (novamente
):
Expandindo,
Agrupando os termos que contêm
no mesmo lado:
Fatorando
no lado esquerdo:
Desde que
(caso contrário o fator
seria zero e a equação precisa de tratamento especial), isolamos
:
Portanto, para qualquer
tal que
existe um
do domínio dado por
que satisfaz
.
Passo 7
Verificação do caso
e conclusão sobre a imagem. Se tentarmos
na equação original,
o que leva a
, contradição. Logo não existe
que produza
. Portanto
não está na imagem. Para todo
encontramos
, e já verificamos que esse
nunca coincide com
(uma rápida checagem: resolver
leva a contradição), então esse
pertence ao domínio. Conclui-se que
Como o contradomínio dado no enunciado é
, e
(falta o valor
), a função
não é sobrejetora.
Resposta
(a)
é injetora.
(b) ; portanto
não é sobrejetora.
(b)