1. Considere a função f: \mathbb{R}-\left\{-\frac{1}{2}\right\} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=\frac{2 x-1}{2 x+1}
(a) ( \mathbf{1 , 5} pts) Mostre que f é injetora, justificando sua resposta.
(b) ( \mathbf{1 , 5} pts) Determine \operatorname{im}(f) e decida se f é, ou não, sobrejetora. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\setminus\left\{-\tfrac{1}{2}\right\}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\frac{2x-1}{2x+1}.
As perguntas são:
(a) Mostrar que f é injetora, com justificativa.
(b) Determinar \operatorname{im}(f) (a imagem) e dizer se f é sobrejetora (explicar).

Passo 2

Definição e plano para (a). Lembra que a função f é injetora se, para quaisquer x_1,x_2 do domínio, a igualdade f(x_1)=f(x_2) implica x_1=x_2.
Vou usar o método algébrico direto: assumir f(x_1)=f(x_2), fazer manipulações (cruzar multiplicações, isolar termos) e mostrar que isso obriga x_1=x_2. Escolhi esse método porque é elementar, não requer derivadas e funciona bem para frações racionais como essa.

Passo 3

Prova algébrica da injetividade. Seja x_1,x_2\in\mathbb{R}\setminus\left\{-\tfrac{1}{2}\right\} e suponha
\frac{2x_1-1}{2x_1+1}=\frac{2x_2-1}{2x_2+1}.
Fazendo produto cruzado (válido porque 2x_1+1\neq 0 e 2x_2+1\neq 0 pelo domínio),
(2x_1-1)(2x_2+1)=(2x_2-1)(2x_1+1).
Agora expandir ambos os lados:
4x_1x_2+2x_1-2x_2-1 = 4x_1x_2+2x_2-2x_1-1.
Subtrai-se 4x_1x_2 e -1 de ambos os lados, ficando
2x_1-2x_2 = 2x_2-2x_1.
Reorganizando o lado direito para o esquerdo:
2x_1-2x_2 - (2x_2-2x_1)=0 \quad\Rightarrow\quad 4x_1-4x_2=0.
Divide-se por 4:
x_1-x_2=0,
logo x_1=x_2. Isso mostra que f é injetora.

Passo 4

Comentário extra (opcional) — alternativa com derivada. Se alguém conhecer cálculo, pode notar que
f'(x)=\frac{2(2x+1)- (2x-1)\cdot 2}{(2x+1)^2}=\frac{4}{(2x+1)^2},
e como \dfrac{4}{(2x+1)^2}>0 para todo x do domínio, f é estritamente crescente e portanto injetora. Isto é só outro caminho; a prova algébrica anterior é suficiente sem cálculo.

Passo 5

Plano para (b). Para achar \operatorname{im}(f) resolvo a equação y=\dfrac{2x-1}{2x+1} para x em função de y, e verifico quais valores de y são possíveis. Vou também checar se há algum y no contradomínio \mathbb{R} que não tem antecessor (o que tornaria f não sobrejetora).

Passo 6

Resolver y=\dfrac{2x-1}{2x+1} para x. Começo com produto cruzado (novamente 2x+1\neq 0):
y(2x+1)=2x-1.
Expandindo,
2xy+y=2x-1.
Agrupando os termos que contêm x no mesmo lado:
2xy-2x = -1-y.
Fatorando x no lado esquerdo:
2x(y-1) = -(1+y).
Desde que y\neq 1 (caso contrário o fator y-1 seria zero e a equação precisa de tratamento especial), isolamos x:
x = \frac{-(1+y)}{2(y-1)} = \frac{1+y}{2(1-y)}.
Portanto, para qualquer y tal que y\neq 1 existe um x do domínio dado por x=\dfrac{1+y}{2(1-y)} que satisfaz f(x)=y.

Passo 7

Verificação do caso y=1 e conclusão sobre a imagem. Se tentarmos y=1 na equação original,
\frac{2x-1}{2x+1}=1 \quad\Rightarrow\quad 2x-1=2x+1,
o que leva a -1=1, contradição. Logo não existe x que produza y=1. Portanto y=1 não está na imagem. Para todo y\neq 1 encontramos x=\dfrac{1+y}{2(1-y)}, e já verificamos que esse x nunca coincide com -\tfrac{1}{2} (uma rápida checagem: resolver \dfrac{1+y}{2(1-y)}=-\tfrac{1}{2} leva a contradição), então esse x pertence ao domínio. Conclui-se que
\operatorname{im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Como o contradomínio dado no enunciado é \mathbb{R}, e \operatorname{im}(f)\neq\mathbb{R} (falta o valor 1), a função f não é sobrejetora.

Resposta

(a) f é injetora.
(b) \operatorname{im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}; portanto f não é sobrejetora.

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