- (2,5 pts) Resolva, em
, a seguinte inequação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a inequação
Informações importantes dadas:
- A expressão é uma razão de polinômios com numerador
e denominador . - Deve-se observar o domínio: o valor de
não pode anular o denominador (ou seja, ).
Passo 2
Primeiro achamos o domínio, excluindo
que anulam o denominador:
Portanto
não faz parte do domínio e deve ser excluído de qualquer solução.
Passo 3
Para tratar a inequação de forma segura (sem multiplicar pelo denominador sem saber o sinal), colocamos tudo num só lado e escrevemos como uma única fração:
Colocando na mesma fração:
Calcule o numerador:
Logo a inequação fica
Passo 4
Agora a solução desta inequação racional depende do sinal do numerador e do denominador. Identificamos os pontos que mudam sinal:
- Numerador
em (zero da fração). - Denominador
em (polo, não pode ser usado).
Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
,
e
. Vamos verificar o sinal da fração em cada intervalo usando pontos de teste.
Passo 5
Escolhendo pontos de teste e avaliando o sinal de numerador e denominador:
-
Em
(no intervalo ): Então. Portanto a inequação é satisfeita em . -
Em
(no intervalo ): Então. Portanto a inequação NÃO é satisfeita em . -
Em
(no intervalo ): Então. Portanto a inequação é satisfeita em .
Passo 6
Tratar os pontos limites:
- Em
a fração vale , mas a desigualdade é estrita , então não pertence à solução. - Em
a expressão não está definida (denominador zero), então também é excluída.
Juntando os intervalos onde a fração é positiva, a solução é