1. (2,5 pts) Resolva, em \mathbb{R}, a seguinte inequação:
\frac{5 x+3}{2 x+1}>2 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação
\frac{5x+3}{2x+1}>2.
Informações importantes dadas:
  • A expressão é uma razão de polinômios com numerador 5x+3 e denominador 2x+1.
  • Deve-se observar o domínio: o valor de x não pode anular o denominador (ou seja, 2x+1\neq0).

Passo 2

Primeiro achamos o domínio, excluindo x que anulam o denominador:
2x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{2}.
Portanto x=-\tfrac{1}{2} não faz parte do domínio e deve ser excluído de qualquer solução.

Passo 3

Para tratar a inequação de forma segura (sem multiplicar pelo denominador sem saber o sinal), colocamos tudo num só lado e escrevemos como uma única fração:
\frac{5x+3}{2x+1}-2>0.
Colocando na mesma fração:
\frac{5x+3}{2x+1}-\frac{2(2x+1)}{2x+1}=\frac{5x+3-2(2x+1)}{2x+1}.
Calcule o numerador:
5x+3-2(2x+1)=5x+3-4x-2=x+1.
Logo a inequação fica
\frac{x+1}{2x+1}>0.

Passo 4

Agora a solução desta inequação racional depende do sinal do numerador e do denominador. Identificamos os pontos que mudam sinal:
  • Numerador x+1=0 em x=-1 (zero da fração).
  • Denominador 2x+1=0 em x=-\tfrac{1}{2} (polo, não pode ser usado).
Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-1), (-1,-\tfrac{1}{2}) e (-\tfrac{1}{2},\infty). Vamos verificar o sinal da fração em cada intervalo usando pontos de teste.

Passo 5

Escolhendo pontos de teste e avaliando o sinal de numerador e denominador:
  • Em x=-2 (no intervalo (-\infty,-1)):
    x+1=-2+1=-1<0,\qquad 2x+1=2(-2)+1=-3<0.
    Então \dfrac{x+1}{2x+1}=\dfrac{\text{negativo}}{\text{negativo}}>0. Portanto a inequação é satisfeita em (-\infty,-1).
  • Em x=-\tfrac{3}{4}=-0{,}75 (no intervalo (-1,-\tfrac{1}{2})):
    x+1=-\tfrac{3}{4}+1=\tfrac{1}{4}>0,\qquad 2x+1=2\left(-\tfrac{3}{4}\right)+1=-\tfrac{1}{2}<0.
    Então \dfrac{x+1}{2x+1}=\dfrac{\text{positivo}}{\text{negativo}}<0. Portanto a inequação NÃO é satisfeita em (-1,-\tfrac{1}{2}).
  • Em x=0 (no intervalo (-\tfrac{1}{2},\infty)):
    x+1=1>0,\qquad 2x+1=1>0.
    Então \dfrac{x+1}{2x+1}>0. Portanto a inequação é satisfeita em (-\tfrac{1}{2},\infty).

Passo 6

Tratar os pontos limites:
  • Em x=-1 a fração vale 0, mas a desigualdade é estrita >\,0, então x=-1 não pertence à solução.
  • Em x=-\tfrac{1}{2} a expressão não está definida (denominador zero), então também é excluída.
Juntando os intervalos onde a fração é positiva, a solução é
(-\infty,-1)\cup\left(-\tfrac{1}{2},\infty\right).

Resposta

\;(-\infty,-1)\cup\left(-\tfrac{1}{2},\infty\right)

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