Para qual valor inteiro positivo de n vale a igualdade abaixo?
3\binom{n}{1}+3^{2}\binom{n}{2}+\cdots+3^{n}\binom{n}{n}=4095
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12

Passo 1

O enunciado pede o valor inteiro positivo de n tal que
3\binom{n}{1}+3^{2}\binom{n}{2}+\cdots+3^{n}\binom{n}{n}=4095.
O conteúdo-chave aqui é o Teorema do Binômio, que afirma que
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}=(1+a)^{n}.

Passo 2

Vamos escrever a soma dada como parte da expansão binomial. Note que
\sum_{k=1}^{n}3^{k}\binom{n}{k} =\sum_{k=0}^{n}3^{k}\binom{n}{k}\;-\;3^{0}\binom{n}{0} =(1+3)^{n}-1 =4^{n}-1.

Passo 3

Igualamos essa expressão a 4095:
4^{n}-1=4095 \quad\Longrightarrow\quad 4^{n}=4096.

Passo 4

Reconhecemos que 4096=4^{6}. Logo,
4^{n}=4^{6} \quad\Longrightarrow\quad n=6.

Resposta

6 (opção C)

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