Considere a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x, y)=\frac{\sqrt{y-x}}{1-x^{2}}. Explicite e esboce o domínio de f.

Passo 1

O enunciado define
f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\quad f(x,y)=\frac{\sqrt{y-x}}{1-x^2}
e pede o domínio de f. Sabemos que para f(x,y) estar bem-definida precisamos (i) ter o radicando não-negativo e (ii) o denominador não-nulo.

Passo 2

Para a raiz estar definida em \mathbb{R}, exigimos
y - x \ge 0,
ou seja y \ge x.

Passo 3

Para o denominador não se anular, exigimos
1 - x^2 \neq 0,
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x \neq \pm 1.

Passo 4

Combinando as duas condições, o domínio de f é
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y \ge x \;\text{e}\; x \neq \pm 1\bigr\}.

Passo 5

O esboço de D é a região do plano acima (ou sobre) a reta y=x, incluindo essa reta, mas com as retas verticais x=1 e x=-1 removidas. Em outras palavras, sombreamos tudo em y\ge x e riscamos (ou pontilhamos) as linhas x=1 e x=-1 para indicar que elas não fazem parte do domínio.

Resposta

D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y \ge x \;\text{e}\; x \neq \pm 1\bigr\}.

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