Esboce pelo menos 3 curvas de nível e o gráfico da seguinte função f(x, y)=1+9 x^{2}+4 y^{2}.

Passo 1

O enunciado nos pede para esboçar as curvas de nível e o gráfico da função
f(x,y) = 1 + 9x^2 + 4y^2.
O conteúdo envolvido é a determinação de curvas de nível (níveis de altura constantes) e o reconhecimento do tipo de superfície no espaço tridimensional (um paraboloide elíptico).

Passo 2

Uma curva de nível fixa em c satisfaz
f(x,y) = c \quad\Longrightarrow\quad 1 + 9x^2 + 4y^2 = c \quad\Longrightarrow\quad 9x^2 + 4y^2 = c - 1.
Essa é a equação de uma elipse centrada em (0,0), desde que c > 1.

Passo 3

Escolhendo três valores de c maiores que 1, temos:
Para c = 2:
9x^2 + 4y^2 = 1,
cujo semieixo em x é \frac{1}{3} e em y é \frac12.
Para c = 5:
9x^2 + 4y^2 = 4,
com semieixo em x igual a \frac{2}{3} e em y igual a 1.
Para c = 10:
9x^2 + 4y^2 = 9,
com semieixo em x igual a 1 e em y igual a \tfrac32.

Passo 4

No plano xy, essas três elipses crescem conforme c aumenta. Num esboço:
— A elipse de nível c=2 fica bem apertada em torno da origem.
— A de c=5 é maior que a anterior.
— A de c=10 é ainda maior, sempre centrada em (0,0) e com eixos paralelos a x e y.

Passo 5

O gráfico tridimensional de
z = 1 + 9x^2 + 4y^2
é um paraboloide elíptico que abre para cima, com vértice em (0,0,1). As seções horizontais (níveis de z) são precisamente as elipses do passo anterior, e à medida que x^2 ou y^2 crescem, z aumenta quadraticamente.

Resposta

As curvas de nível para c=2,5,10 são, respectivamente,
9x^2 + 4y^2 = 1, \quad 9x^2 + 4y^2 = 4, \quad 9x^2 + 4y^2 = 9,
que são elipses centradas em (0,0) com semieixos \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac12\bigr), \bigl(\tfrac{2}{3},1\bigr) e \bigl(1,\tfrac32\bigr).
O gráfico de z = 1 + 9x^2 + 4y^2 é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,1) e eixos alinhados com os eixos coordenados.

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