Esboce pelo menos 3 curvas de nível e o gráfico da seguinte função
.
Passo 1
O enunciado nos pede para esboçar as curvas de nível e o gráfico da função
O conteúdo envolvido é a determinação de curvas de nível (níveis de altura constantes) e o reconhecimento do tipo de superfície no espaço tridimensional (um paraboloide elíptico).
Passo 2
Uma curva de nível fixa em
satisfaz
Essa é a equação de uma elipse centrada em
, desde que
.
Passo 3
Escolhendo três valores de
maiores que 1, temos:
Para :
Para
cujo semieixo em
é
e em
é
.
Para :
Para
com semieixo em
igual a
e em
igual a
.
Para :
Para
com semieixo em
igual a
e em
igual a
.
Passo 4
No plano
, essas três elipses crescem conforme
aumenta. Num esboço:
— A elipse de nível fica bem apertada em torno da origem.
— A de é maior que a anterior.
— A de é ainda maior, sempre centrada em
e com eixos paralelos a
e
.
— A elipse de nível
— A de
— A de
Passo 5
O gráfico tridimensional de
é um paraboloide elíptico que abre para cima, com vértice em
. As seções horizontais (níveis de
) são precisamente as elipses do passo anterior, e à medida que
ou
crescem,
aumenta quadraticamente.
Resposta
As curvas de nível para
são, respectivamente,
que são elipses centradas em
com semieixos
,
e
.
O gráfico de é um paraboloide elíptico com vértice em
e eixos alinhados com os eixos coordenados.
O gráfico de