Verifique que, para qualquer polinômio P(x) de grau menor ou igual a 1 , tem-se:
\int_{a}^{b} P(x) d x=(b-a) \cdot P\left(\frac{a+b}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer polinômio P(x) de grau menor ou igual a 1, vale a fórmula
\int_{a}^{b}P(x)\,dx = (b - a)\,P\!\biggl(\frac{a+b}{2}\biggr).
O conteúdo é cálculo de integral de polinômio de primeiro grau e manipulação algébrica.

Passo 2

Escrevemos o polinômio genérico de grau <=1 como
P(x) = \alpha\,x + \beta,
onde \alpha e \beta são constantes.

Passo 3

Calculamos a integral de P(x) de a até b:
\int_{a}^{b}P(x)\,dx = \int_{a}^{b}(\alpha\,x + \beta)\,dx = \alpha\int_{a}^{b}x\,dx + \beta\int_{a}^{b}1\,dx.

Passo 4

Cada termo fica
\int_{a}^{b}x\,dx = \frac{b^{2}-a^{2}}{2}, \qquad \int_{a}^{b}1\,dx = b - a.
Logo
\int_{a}^{b}P(x)\,dx = \alpha\,\frac{b^{2}-a^{2}}{2} + \beta\,(b-a) = \alpha\,\frac{(b-a)(b+a)}{2} + \beta\,(b-a).

Passo 5

Fatorando b-a, obtemos
\int_{a}^{b}P(x)\,dx = (b-a)\Bigl(\alpha\,\frac{a+b}{2} + \beta\Bigr).
Mas \alpha\,\frac{a+b}{2} + \beta = P\!\bigl(\frac{a+b}{2}\bigr). Logo
\int_{a}^{b}P(x)\,dx = (b-a)\,P\!\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr).

Resposta

\int_{a}^{b}P(x)\,dx = (b-a)\,P\!\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr).

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