Encontre, se existir os limites abaixo:
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado nos pede o limite da função de três variáveis
f(x,y,z)=\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}+z^{2}}
quando (x,y,z)\to(0,0,0).
O conteúdo aqui é teste de existência de limite em várias variáveis usando caminhos: se ao longo de duas curvas de aproximação obtemos valores distintos, o limite não existe.

Passo 2

Suponha que exista um limite L. Para testar essa hipótese, escolhemos um caminho de aproximação ao ponto (0,0,0) dado por
y = k\,x^{2},\quad z=0,
onde k é um parâmetro real. Nesse caso (x,y,z)\to(0,0,0) sempre que x\to0.

Passo 3

Substituindo y=kx^{2} e z=0 em f, temos
f\bigl(x,kx^{2},0\bigr) =\frac{x^{2}\,(k\,x^{2})}{x^{4}+(k\,x^{2})^{2}+0} =\frac{k\,x^{4}}{x^{4}+k^{2}x^{4}} =\frac{k\,x^{4}}{x^{4}(1+k^{2})} =\frac{k}{1+k^{2}}.
Essa expressão independe de x e, ao fazermos x\to0, tende a
\frac{k}{1+k^{2}}.

Passo 4

O valor obtido depende do parâmetro k. Por exemplo:
  • Se k=0, o valor no caminho é \tfrac{0}{1+0}=0.
  • Se k=1, o valor no caminho é \tfrac{1}{1+1}=\tfrac12.
Como diferentes caminhos dão limites diferentes, o limite geral não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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