Encontre, se existir os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado nos pede o limite da função de três variáveis
quando
.
O conteúdo aqui é teste de existência de limite em várias variáveis usando caminhos: se ao longo de duas curvas de aproximação obtemos valores distintos, o limite não existe.
O conteúdo aqui é teste de existência de limite em várias variáveis usando caminhos: se ao longo de duas curvas de aproximação obtemos valores distintos, o limite não existe.
Passo 2
Suponha que exista um limite
. Para testar essa hipótese, escolhemos um caminho de aproximação ao ponto
dado por
onde
é um parâmetro real. Nesse caso
sempre que
.
Passo 3
Substituindo
e
em
, temos
Essa expressão independe de
e, ao fazermos
, tende a
Passo 4
O valor obtido depende do parâmetro
. Por exemplo:
- Se
, o valor no caminho é . - Se
, o valor no caminho é .
Como diferentes caminhos dão limites diferentes, o limite geral não pode existir.
Resposta
O limite não existe.