Encontre, se existir os limites abaixo:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+x y^{2}+2 x^{2}+2 y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3} + x\,y^{2} + 2x^{2} + 2y^{2}}{x^{2} + y^{2}},
que é um limite de uma função de duas variáveis. Para resolver, vamos fatorar o numerador e simplificar a expressão sempre que possível.

Passo 2

Observe que os dois primeiros termos do numerador podem ser agrupados assim:
x^{3} + x\,y^{2} = x\,(x^{2} + y^{2}).
Já os dois últimos termos formam
2x^{2} + 2y^{2} = 2\,(x^{2} + y^{2}).
Portanto o numerador todo fica
x^{3} + x\,y^{2} + 2x^{2} + 2y^{2} = \bigl(x + 2\bigr)\,(x^{2} + y^{2}).

Passo 3

Substituindo essa fatoração na fração, para (x,y)\neq(0,0) temos
\frac{x^{3} + x\,y^{2} + 2x^{2} + 2y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{\bigl(x + 2\bigr)\,(x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = x + 2.

Passo 4

Agora basta calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x + 2).
Como x\to0 quando (x,y)\to(0,0), esse limite vale
0 + 2 = 2.

Resposta

2

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