Considere a região D do plano no primeiro quadrante limitada pelas curvas y=raiz2 x e y=x.
Utilize integrais duplas para calcular a área da região D.

Passo 1

O enunciado pede a área da região D no primeiro quadrante limitada pelas curvas y=raiz2x (acima) e y=x (abaixo), usando integrais duplas. Para isso vamos:
  • encontrar os pontos de interseção dessas curvas;
  • descrever D de forma que possamos escrever A=integral duplaDdA;
  • calcular a integral.

Passo 2

Calculamos a interseção resolvendo
x = raiz2x
Elevando ao quadrado vem
x^2 = 2x Longrightarrow x(x-2)=0 Longrightarrow x=0 ou x=2
Assim, D vai de x=0 até x=2, e em cada x o y varia entre y=x e y=raiz2x.

Passo 3

Escolhendo integrar primeiro em y, escrevemos
A = integral duplaDdA = integralx=0^2integraly=x^raiz2xdy,dx

Passo 4

A integral interna em y é
integraly=x^raiz2xdy = raiz2x-x
Logo
A = integral0^2l(raiz2x-xr),dx

Passo 5

Separamos em duas integrais:
integral0^2raiz2x,dx = raiz2integral0^2x^1/2dx = raiz2cdot23x^3/2|0^2 = 2raiz23cdot 2^3/2 = 83,
integral0^2x,dx = x^22|0^2 = 2
Portanto
A = 83-2 = 8-63 = 23

Resposta

A área da região D é tfrac23.

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