Considere a função
, par e 2 -periódica tal que
para
. Sabendo que
, calcule a série de Fourier de
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de uma função
que é par,
-periódica e satisfaz
para
. O conteúdo principal é a expansão em série de Fourier de uma função par, o que implica apenas termos cossenoidais. Para isso, vamos usar as fórmulas gerais
e a identidade dada
Passo 2
Como
é par, a série de Fourier em
fica
Em particular,
Por paridade, basta integrar em
dobrando o resultado quando for conveniente.
Passo 3
Cálculo de
:
Passo 4
Cálculo de
para
:
Usando
na fórmula dada,
Logo,
Passo 5
Simplificação de
:
- Se
é par, e então . - Se
é ímpar, e
Portanto só aparecem termos com
ímpar.