Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, par e 2 -periódica tal que f(x)=x para 0<x<1. Sabendo que \int x \cos (\beta x) d x=\frac{x \operatorname{sen}(\beta x)}{\beta}+\frac{\cos (\beta x)}{\beta^{2}}, calcule a série de Fourier de f.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de uma função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} que é par, 2-periódica e satisfaz f(x)=x para 0<x<1. O conteúdo principal é a expansão em série de Fourier de uma função par, o que implica apenas termos cossenoidais. Para isso, vamos usar as fórmulas gerais
a_0 = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1}f(x)\,dx,
a_n = \int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx\quad(n\ge1),
e a identidade dada
\int x\cos(\beta x)\,dx = \frac{x\sin(\beta x)}{\beta} + \frac{\cos(\beta x)}{\beta^2}.

Passo 2

Como f é par, a série de Fourier em [-1,1] fica
f(x) \sim a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n\pi x).
Em particular,
a_0 = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \quad\text{e}\quad a_n = \int_{-1}^{1} f(x)\cos(n\pi x)\,dx.
Por paridade, basta integrar em [0,1] dobrando o resultado quando for conveniente.

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0 = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1}f(x)\,dx = \frac{1}{2}\Bigl(2\int_{0}^{1}x\,dx\Bigr) = \int_{0}^{1}x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac12.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1:
a_n = \int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx = 2\int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx.
Usando \beta=n\pi na fórmula dada,
\int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx =\left[\frac{x\sin(n\pi x)}{n\pi}+\frac{\cos(n\pi x)}{n^2\pi^2}\right]_{0}^{1} =\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}.
Logo,
a_n = 2\cdot\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}.

Passo 5

Simplificação de a_n:
  • Se n é par, (-1)^n=1 e então a_n=0.
  • Se n=2k+1 é ímpar, (-1)^n=-1 e
a_{2k+1} =2\cdot\frac{-2}{(2k+1)^2\pi^2} =-\frac{4}{(2k+1)^2\pi^2}.
Portanto só aparecem termos com n ímpar.

Resposta

f(x) =\frac12 -\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{(2k+1)^2\pi^2}\,\cos\bigl((2k+1)\pi x\bigr).

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