A função
é suposta par e
-periódica. Sabendo que
, para todo
, esboce o gráfico de
no intervalo
e encontre sua série de Fourier.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico e a série de Fourier de uma função
que é par,
-periódica e satisfaz
em
. O conteúdo principal é extensão par e cálculo de coefs. de Fourier (apenas termos em cosseno).
Passo 2
Para esboçar o gráfico, primeiro vemos que em
temos
. Como
é par, em
vale
Como
é
-periódica, esse “V” em
se repete a cada período. Logo, em cada intervalo
o gráfico é um “V” com vértice em
e altura
.
Passo 3
Para a série de Fourier, sendo
par só há termo constante e cossenos:
Portanto o termo constante será
.
Passo 4
Para
,
Fazendo integração por partes em
com
,
, obtemos
Passo 5
Substituindo em
,
Para
par,
dá
. Para
ímpar,
dá
Passo 6
Juntando tudo, a série de Fourier fica
Resposta
com o gráfico em “V”
em
repetido a cada período
.