A função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é suposta par e 2 \pi-periódica. Sabendo que f(x)=x, para todo x \in[0, \pi], esboce o gráfico de f no intervalo [-3 \pi, 3 \pi] e encontre sua série de Fourier.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico e a série de Fourier de uma função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} que é par, 2\pi-periódica e satisfaz f(x)=x em [0,\pi]. O conteúdo principal é extensão par e cálculo de coefs. de Fourier (apenas termos em cosseno).

Passo 2

Para esboçar o gráfico, primeiro vemos que em [0,\pi] temos f(x)=x. Como f é par, em [-\,\pi,0] vale
f(x)=f(-x)=(-x)\quad\Longrightarrow\quad f(x)=|x|.
Como f é 2\pi-periódica, esse “V” em [-\,\pi,\pi] se repete a cada período. Logo, em cada intervalo [2k\pi-\pi,\;2k\pi+\pi] o gráfico é um “V” com vértice em x=2k\pi e altura \pi.

Passo 3

Para a série de Fourier, sendo f par só há termo constante e cossenos:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\,dx =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2} =\pi.
Portanto o termo constante será a_0/2=\pi/2.

Passo 4

Para n\ge1,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes em \int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx com u=x, dv=\cos(nx)\,dx, obtemos
\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx =\frac{1}{n^2}\bigl((-1)^n-1\bigr).

Passo 5

Substituindo em a_n,
a_n=\frac{2}{\pi}\,\frac{(-1)^n-1}{n^2}.
Para n par, (-1)^n=1 a_n=0. Para n ímpar, (-1)^n=-1
a_n=\frac{2}{\pi}\,\frac{-2}{n^2} =-\frac{4}{\pi\,n^2}.

Passo 6

Juntando tudo, a série de Fourier fica
f(x)\sim\frac{\pi}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx) =\frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k+1)x\bigr)}{(2k+1)^2}.

Resposta

f(x)=\frac{\pi}{2} -\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k+1)x\bigr)}{(2k+1)^2},
com o gráfico em “V” f(x)=|x| em [-\,\pi,\pi] repetido a cada período 2\pi.

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