Prove que:
os vetores \|\vec{u}\| \vec{v} e \|\vec{v}\| \vec{u} tem a mesma norma.

Passo 1

O enunciado pede para provar que os vetores \|\vec{u}\|\vec{v} e \|\vec{v}\|\vec{u} têm a mesma norma. O conteúdo que vamos usar é a propriedade de homogeneidade da norma em espaços euclidianos, ou seja, para qualquer vetor \vec{w} e escalar c vale
\|c\,\vec{w}\| = |c|\;\|\vec{w}\|.

Passo 2

Aplicando essa propriedade ao vetor \|\vec{u}\|\vec{v}, obtemos
\|\|\vec{u}\|\vec{v}\|\;=\;|\|\vec{u}\||\;\|\vec{v}\|\;=\;\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|.
De modo análogo, para \|\vec{v}\|\vec{u} temos
\|\|\vec{v}\|\vec{u}\|\;=\;|\|\vec{v}\||\;\|\vec{u}\|\;=\;\|\vec{v}\|\;\|\vec{u}\|\;=\;\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|.
Portanto, ambas as normas coincidem.

Resposta

Como
\|\|\vec{u}\|\vec{v}\|\;=\;\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\| \quad\text{e}\quad \|\|\vec{v}\|\vec{u}\|\;=\;\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|,
concluímos que
\|\|\vec{u}\|\vec{v}\|\;=\;\|\|\vec{v}\|\vec{u}\|\,.

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