Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) a função \(2 \pi\)-periódica tal que \[f(x)= \begin{cases}x, & 0 \leq x<\pi \\\\ -\pi-x, & -\pi \leq x<0\end{cases}
Sabendo que a série de Fourier de f\] é \[\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{-4 \cos ((2 n-1) x)}{\pi(2 n-1)^{2}}+\frac{2 \operatorname{sen}((2 n-1) x)}{2 n-1}\right]\] atribua um valor conveniente para \(x para calcular a soma da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá uma função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) de período \(2\pi\), definida por \[f(x)= \begin{cases} x,&0\le x<\pi,\\\\ -\pi - x,&-\pi\le x<0, \end{cases}
e fornece sua série de Fourier
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{-4\cos\bigl((2n-1)x\bigr)}{\pi(2n-1)^2} +\frac{2\sin\bigl((2n-1)x\bigr)}{2n-1}\Bigr].
Nosso objetivo é usar essa série para calcular
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}.
Para isso, vamos escolher um valor de x\] que anule o termo em \(\sin e deixe \cos\bigl((2n-1)x\bigr)=1.

Passo 2

Escolhemos x=0. Assim, em cada n:
\cos\bigl((2n-1)\cdot0\bigr)=1, \quad \sin\bigl((2n-1)\cdot0\bigr)=0.
Logo a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{-4\cdot1}{\pi(2n-1)^2} + 0\Bigr] = -\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}.
Por outro lado, o valor ao qual a série converge em x=0 é o ponto médio dos limites laterais de f em 0:
f(0^+)=0, \quad f(0^-) = -\pi \quad\Longrightarrow\quad \text{Série em }0 = \frac{0 + (-\pi)}{2} = -\frac{\pi}{2}.é

Passo 3

Igualando as duas expressões obtemos
-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2} = -\frac{\pi}{2}.
Multiplicando por -\pi/4 em ambos os lados dá
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}.

Resposta

Atribuindo x=0 e igualando, concluímos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}.

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