a) Mostre que se
, então
ou
.
b) Se
, então
? E se
?
c) Se
, então
? E se
?
b) Se
c) Se
Passo 1
O enunciado trabalha com vetores
em um espaço vetorial e escalares
em um corpo. Vamos usar o axioma fundamental de espaços vetoriais: se um produto escalar é o vetor nulo, então ou o escalar é zero ou o vetor é o zero. Também usaremos a existência de inverso multiplicativo para escalares não nulos.
Passo 2
(a) Suponha
.
Se já está satisfeito o enunciado.
Se , então existe
tal que
Se
Se
Logo, ou
ou
.
Passo 3
(b) Suponha
.
Então
Então
Pelo resultado do item (a), ou
ou
.
Portanto:
Portanto:
- Se
, a igualdade não impõe nenhuma relação entre e . - Se
, então , ou seja, .
Passo 4
(c) Suponha
.
Então
Então
Pelo item (a), ou
ou
.
Logo:
Logo:
- Se
e
. - Se
, então , isto é, .)
Resposta
a) Demonstrado que de
segue
ou
.
b) De não se obtém
no caso geral (
anula qualquer coisa); porém se
, então
.
c) De não se obtém
no caso geral (
anula qualquer coisa); porém se
, então
.
b) De
c) De