a) Mostre que se \alpha V=\overline{0}, então \alpha=0 ou V=\overline{0}.
b) Se \alpha U=\alpha V, então U=V ? E se \alpha \neq 0 ?
c) Se \alpha V=\beta V, então \alpha=\beta ? E se V \neq \overline{0} ?

Passo 1

O enunciado trabalha com vetores U,V em um espaço vetorial e escalares \alpha,\beta em um corpo. Vamos usar o axioma fundamental de espaços vetoriais: se um produto escalar é o vetor nulo, então ou o escalar é zero ou o vetor é o zero. Também usaremos a existência de inverso multiplicativo para escalares não nulos.

Passo 2

(a) Suponha \alpha V=\overline{0}.
Se \alpha=0 já está satisfeito o enunciado.
Se \alpha\neq0, então existe \alpha^{-1} tal que
V = \alpha^{-1}(\alpha V) = \alpha^{-1}\overline{0} = \overline{0}.
Logo, ou \alpha=0 ou V=\overline{0}.

Passo 3

(b) Suponha \alpha U=\alpha V.
Então
\alpha U - \alpha V = \overline{0} \quad\Longrightarrow\quad \alpha\,(U - V)=\overline{0}.
Pelo resultado do item (a), ou \alpha=0 ou U-V=\overline{0}.
Portanto:
  • Se \alpha=0, a igualdade não impõe nenhuma relação entre U e V.
  • Se \alpha\neq0, então U-V=\overline{0}, ou seja, U=V.

Passo 4

(c) Suponha \alpha V=\beta V.
Então
\alpha V - \beta V = \overline{0} \quad\Longrightarrow\quad (\alpha-\beta)\,V=\overline{0}.
Pelo item (a), ou \alpha-\beta=0 ou V=\overline{0}.
Logo:
  • Se V=\overline{0}$, não se conclui nada sobre \(\alpha e \beta.
  • Se V\neq\overline{0}, então \alpha-\beta=0, isto é, \alpha=\beta.)

Resposta

a) Demonstrado que de \alpha V=\overline{0} segue \alpha=0 ou V=\overline{0}.
b) De \alpha U=\alpha V não se obtém U=V no caso geral ( \alpha=0 anula qualquer coisa); porém se \alpha\neq0, então U=V.
c) De \alpha V=\beta V não se obtém \alpha=\beta no caso geral ( V=\overline{0} anula qualquer coisa); porém se V\neq\overline{0}, então \alpha=\beta.

Exercícios relacionados