Considere a função f: R R dada por f(x)=llx^3-27x-3, & se x neq 3 alpha, & se x=3. Determine o valor de alpha para que f seja contínua em 3 .

Passo 1

Então, a gente tem uma função chamada $ f $ que é definida de uma maneira diferente dependendo do valor de $ x $. Quando $ x $ não é igual a 3, a função é $ \frac{x^3 - 27}{x - 3} $, e quando $ x $ é igual a 3, a função vale $ \alpha $. A questão é descobrir qual valor de $ \alpha $ faz com que a função $ f $ seja contínua em $ x = 3 $. Aqui, vamos mexer com o conceito de continuidade e limites.

Passo 2

Para a função ser contínua em $ x = 3 $, precisamos que o limite da função quando $ x $ se aproxima de 3 seja igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, igual a $ \alpha $:
x = 3

Passo 3

Vamos calcular o limite limx to 3 x^3 - 27x - 3. Primeiro, percebemos que $ x^3 - 27 $ é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^3 - 27

Passo 4

Agora, substituindo essa fatoração na expressão do limite, temos:
limx to 3 (x - 3)(x^2 + 3x + 9)x - 3
Podemos cancelar o termo $ (x - 3) $ no numerador e no denominador, já que $ x $ não é igual a 3 (estamos considerando o limite):
(x - 3)

Passo 5

Agora, basta substituir $ x = 3 $ na expressão simplificada:
x = 3

Resposta

O valor de $ \alpha $ deve ser $ 27 $ para que $ f $ seja contínua em 3.

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