Considere a função
dada por
. Determine o valor de
para que
seja contínua em 3 .
Passo 1
Então, a gente tem uma função chamada $ f $ que é definida de uma maneira diferente dependendo do valor de $ x $. Quando $ x $ não é igual a 3, a função é $ \frac{x^3 - 27}{x - 3} $, e quando $ x $ é igual a 3, a função vale $ \alpha $. A questão é descobrir qual valor de $ \alpha $ faz com que a função $ f $ seja contínua em $ x = 3 $. Aqui, vamos mexer com o conceito de continuidade e limites.
Passo 2
Para a função ser contínua em $ x = 3 $, precisamos que o limite da função quando $ x $ se aproxima de 3 seja igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, igual a $ \alpha $:
Passo 3
Vamos calcular o limite
. Primeiro, percebemos que $ x^3 - 27 $ é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Passo 4
Agora, substituindo essa fatoração na expressão do limite, temos:
Podemos cancelar o termo $ (x - 3) $ no numerador e no denominador, já que $ x $ não é igual a 3 (estamos considerando o limite):
Passo 5
Agora, basta substituir $ x = 3 $ na expressão simplificada:
Resposta
O valor de $ \alpha $ deve ser $ 27 $ para que $ f $ seja contínua em 3.