Q8 Para quais valores de x a serie
converge?
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
e pede para quais valores de
ela converge. Vamos primeiro achar o raio de convergência usando o teste da razão e depois testar os pontos extremos
e
.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão de d’Alembert ao termo geral
Calculamos
Pelo teste da razão, a série converge se
|x|<1 e diverge se
|x|>1 .
Passo 3
Concluímos que para
|x|<1 a série converge absolutamente (e, portanto, converge).
Passo 4
Em
x=1 a série fica
que é uma série alternada cujos termos em módulo
tfrac1n+3 são positivos, decrescentes e tendem a zero. Pelo critério de Leibniz, ela converge.
Passo 5
Em
x=-1 a série torna-se
que é proporcional à série harmônica (sem sinal alternado), e portanto diverge.
Resposta
A série converge para
e diverge para
|x|>1 ou
x=-1 .