Q8 Para quais valores de x a serie
sumn=1^infty(-1)^n-1 x^nn+3
converge?

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn+3,
e pede para quais valores de x ela converge. Vamos primeiro achar o raio de convergência usando o teste da razão e depois testar os pontos extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão de d’Alembert ao termo geral
an(x)=(-1)^n-1x^nn+3
Calculamos
limntoinfty|an+1(x)an(x)| =limntoinfty|x|^,n+1/(n+4)|x|^n/(n+3) =limntoinfty|x|;n+3n+4 =|x|
Pelo teste da razão, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1.

Passo 3

Concluímos que para |x|<1 a série converge absolutamente (e, portanto, converge).

Passo 4

Em x=1 a série fica
sumn=1^infty(-1)^n-11n+3,
que é uma série alternada cujos termos em módulo tfrac1n+3 são positivos, decrescentes e tendem a zero. Pelo critério de Leibniz, ela converge.

Passo 5

Em x=-1 a série torna-se
sumn=1^infty(-1)^n-1(-1)^nn+3 =-sumn=1^infty1n+3,
que é proporcional à série harmônica (sem sinal alternado), e portanto diverge.

Resposta

A série converge para
-1< x <= 1,
e diverge para |x|>1 ou x=-1.

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