Considere a função
dada por
. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
© O conjunto imagem de
é
.
© O conjunto imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa descobrir se o conjunto imagem dessa função é todo número real maior ou igual a 2, ou seja,
. Para resolver isso, vamos analisar a função em diferentes intervalos de
e ver quais valores de
ela pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto
de um número
é sempre positivo ou zero. Isso significa que
e
nunca vão ser negativos. Agora, vamos dividir a análise em três partes com base nos valores de
:
- Quando
- Quando
- Quando
Passo 3
1. Quando
:
-
(porque é negativo) -
(porque também é negativo)
Então, substituindo na função:
Como
está diminuindo (vindo do negativo),
vai aumentando, fazendo
crescer sem limite. Portanto, nesse intervalo,
pode ser qualquer número maior que 2.
2. Quando
:
-
(porque é não negativo) -
(porque é negativo)
Substituindo na função:
Aqui,
sempre será igual a 2.
3. Quando
:
-
(porque é não negativo) -
(porque é não negativo)
Substituindo na função:
À medida que
aumenta,
também aumenta sem limite. Portanto,
pode ser qualquer número maior ou igual a 2 nesse intervalo.
Resposta
Verdadeiro. O conjunto imagem de
é
.