Considere a função f: R -> R dada por f(x) = |x - 2| + |x|. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
© O conjunto imagem de f é {y ∈ R : y ≥ 2}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa descobrir se o conjunto imagem dessa função é todo número real maior ou igual a 2, ou seja, . Para resolver isso, vamos analisar a função em diferentes intervalos de e ver quais valores de ela pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de um número é sempre positivo ou zero. Isso significa que e nunca vão ser negativos. Agora, vamos dividir a análise em três partes com base nos valores de :
  1. Quando
  2. Quando
  3. Quando

Passo 3

1. Quando :
  • (porque é negativo)
  • (porque também é negativo)
Então, substituindo na função:
Como está diminuindo (vindo do negativo), vai aumentando, fazendo crescer sem limite. Portanto, nesse intervalo, pode ser qualquer número maior que 2.
2. Quando :
  • (porque é não negativo)
  • (porque é negativo)
Substituindo na função:
Aqui, sempre será igual a 2.
3. Quando :
  • (porque é não negativo)
  • (porque é não negativo)
Substituindo na função:
À medida que aumenta, também aumenta sem limite. Portanto, pode ser qualquer número maior ou igual a 2 nesse intervalo.

Resposta

Verdadeiro. O conjunto imagem de é .

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