Considere a função f: R R, dada por f(x)=rllraizx^3+6 x^2, & para & x neq 0 6, & para & x=0. Calcule, se existir, lim x 0 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de maneira diferente quando é igual a zero e quando é diferente de zero. O que a gente precisa encontrar é o limite dessa função quando se aproxima de zero. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções e manipulação de expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando f(x) = raizx^3 + 6x^2 não é igual a zero, ou seja:
f(x) = raizx^2(x + 6)
Para achar o limite quando f(x) = raizx^2 cdot raizx + 6 se aproxima de zero, vamos simplificar essa expressão. Observamos que podemos fatorar f(x) = |x| cdot raizx + 6 dentro da raiz:
Sabemos que , então:
E como , temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando limx to 0 |x| cdot raizx + 6 = 0 cdot raiz6 = 0 se aproxima de zero. Sabemos que vai para zero quando vai para zero. Além disso, vai para , já que está se tornando muito pequeno.
Então, temos:

Resposta

limx to 0 f(x) = 0

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