Considere a função
, dada por
. Calcule, se existir,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de maneira diferente quando
é igual a zero e quando
é diferente de zero. O que a gente precisa encontrar é o limite dessa função quando
se aproxima de zero. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções e manipulação de expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando
não é igual a zero, ou seja:
Para achar o limite quando
se aproxima de zero, vamos simplificar essa expressão. Observamos que podemos fatorar
dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
E como
, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de zero. Sabemos que
vai para zero quando
vai para zero. Além disso,
vai para
, já que
está se tornando muito pequeno.
Então, temos: