lim x 2 h[f(x)]=h[lim x 2 f(x)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente entender a relação entre os limites de funções compostas. A gente tem essa expressão:
lim x 2 h[f(x)] = h[lim x 2 f(x)]
Aqui, estamos lidando com limites de funções e composição de funções. Para resolver isso, precisamos saber sobre a continuidade das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é limite de uma função. O limite de lim x 2 f(x) = L quando se aproxima de 2 é o valor que tende a assumir próximo a . Isso é escrito como:
onde é o valor que está se aproximando.

Passo 3

Agora, precisamos entender o que é continuidade. Uma função lim x a h(x) = h(a) é contínua em um ponto se:
Ou seja, o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em .

Passo 4

Voltando à nossa expressão original:
lim x 2 h[f(x)] = h[lim x 2 f(x)]
Para que isso seja verdadeiro, precisamos que a função seja contínua no ponto onde está acontecendo. Isso permite que a gente “troque” a ordem do limite e da função .

Passo 5

Então, se lim x 2 h[f(x)] = h[lim x 2 f(x)] = h(L) é contínua no ponto , podemos dizer que:
Isso confirma que a igualdade vale sob a condição de continuidade de no ponto .

Resposta

A igualdade
lim x 2 h[f(x)] = h[lim x 2 f(x)]
é válida desde que a função seja contínua no ponto .

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