Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da curva definida pela equação vetorial
. Isso envolve desenhar a trajetória que essa função descreve no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender um pouco de parametrização de curvas e como os componentes da função
influenciam a forma da curva.
Passo 2
Vamos analisar cada componente da função vetorial:
- Componente x:
- Componente y:
- Componente z:
Essas componentes nos dizem como cada coordenada (x, y, z) varia em função do parâmetro
. Aqui,
pode ser pensado como o tempo, mostrando a posição da curva à medida que avança.
Passo 3
Observando as componentes x e z, notamos que elas estão relacionadas pela função seno e cosseno, ambas com o mesmo fator
. Isso sugere que, se ignorarmos a componente y por um momento, as projeções no plano xz formam um círculo, já que
.
Passo 4
A componente y é simplesmente
, o que significa que, à medida que
aumenta, a coordenada y aumenta linearmente. Isso adiciona uma dimensão de “subida” ou “descida” na curva, dependendo se
está aumentando ou diminuindo.
Passo 5
Juntando essas observações, percebemos que a curva é uma hélice. Especificamente, ela dá voltas circulares no plano xz enquanto avança linearmente no eixo y. A altura (y) aumenta proporcionalmente ao avanço das voltas.
Passo 6
Para indicar a direção em que
aumenta, imaginamos que, conforme
aumenta, a hélice está se movendo para cima no eixo y. Assim, colocamos setas ao longo da hélice apontando nessa direção de ascensão.
Resposta
A curva definida por
é uma hélice que circula em torno do eixo y. Conforme o parâmetro
aumenta, a hélice gira no plano xz enquanto avança para cima no eixo y. No esboço da curva, as setas indicam essa direção de crescimento de
, mostrando o movimento ascendente da hélice.