Considere a função
dada por
.
Valor: 8 pontos
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
b) Determine os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Determine os pontos de inflexão de
, se houver.
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
b) Determine os intervalos onde o gráfico de
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos determinar onde a função
cresce ou decresce (monotonicidade) e onde ela é côncava para cima ou para baixo, além dos pontos de inflexão. Para isso, vamos calcular
e
.
Passo 2
Reescrevo
como
e uso a regra do produto para obter a primeira derivada:
Passo 3
Como
para todo
, o sinal de
vem de
. Logo:
• se
⇔
⇒ f crescente em
.
• se
⇔
⇒ f decrescente em
.
•
•
Passo 4
Derivo
para obter
. Usando regra do produto:
Passo 5
Como
, o sinal de
é dado por
. Portanto:
• para
⇒ côncavo para baixo em
.
• para
⇒ côncavo para cima em
.
O ponto de inflexão ocorre em , com
.
•
•
O ponto de inflexão ocorre em
Resposta
f é crescente em (-∞,1) e decrescente em (1,∞). O gráfico é côncavo para baixo em (-∞,2) e côncavo para cima em (2,∞). Há ponto de inflexão em (2, 2e^{-2} - 1).