Considere a função f: R R dada por f(x)=xe^x-1.
Valor: 8 pontos
a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
b) Determine os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. Determine os pontos de inflexão de f, se houver.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos determinar onde a função f(x)=xe^x-1 cresce ou decresce (monotonicidade) e onde ela é côncava para cima ou para baixo, além dos pontos de inflexão. Para isso, vamos calcular f'(x) e f''(x).

Passo 2

Reescrevo f(x) como x e^-x-1 e uso a regra do produto para obter a primeira derivada:
f'(x)=ddx(x)e^-x+xddx(e^-x)=e^-x-x e^-x=e^-x(1-x)

Passo 3

Como e^-x>0 para todo x, o sinal de f'(x)=e^-x(1-x) vem de 1-x. Logo:
f'(x)>0 se 1-x>0 x<1 ⇒ f crescente em f'(x)<0.
1-x<0 se x>1 (1,infty) ⇒ f decrescente em .

Passo 4

Derivo f'(x)=e^-x(1-x) para obter f''(x). Usando regra do produto:
f''(x)=ddx(e^-x)(1-x)+e^-xddx(1-x) =-e^-x(1-x)-e^-x =-e^-x(2-x) =e^-x(x-2)

Passo 5

Como e^-x>0, o sinal de f''(x)=e^-x(x-2) é dado por x-2. Portanto:
f''(x)<0 para x<2 ⇒ côncavo para baixo em f''(x)>0.
x>2 para (2,infty) ⇒ côncavo para cima em x=2.
O ponto de inflexão ocorre em f(2)=2e^-2-1, com .

Resposta

f é crescente em (-∞,1) e decrescente em (1,∞). O gráfico é côncavo para baixo em (-∞,2) e côncavo para cima em (2,∞). Há ponto de inflexão em (2, 2e^{-2} - 1).

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