Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral1^infty sen^2 xx^2 d x

Passo 1

No exercício, queremos analisar a integral imprópria integral1^infty sin^2 xx^2,dx. O conteúdo envolve teste de convergência e cálculo de integrais impróprias, e vamos precisar usar comparação de funções, identidade trigonométrica e funções especiais (Si).

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, observamos que sin^2 x>=0 e sin^2 x<=1. Logo
sin^2 xx^2<=1x^2,
e como integral1^infty1x^2,dx converge, pelo critério da comparação, integral1^inftysin^2 xx^2,dx é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora vamos calcular o valor da integral usando a identidade sin^2 x=tfrac1-cos(2x)2. Assim
integral1^inftysin^2 xx^2,dx=12integral1^inftydxx^2-12integral1^inftycos(2x)x^2,dx

Passo 4

A primeira integral é imediata:
integral1^inftydxx^2=l[-tfrac1xr]1^infty=1

Passo 5

Para a segunda, aplicamos integração por partes com u=cos(2x) e dv=x^-2dx. Obtém-se
integral1^inftycos(2x)x^2,dx=l[-tfraccos(2x)xr]1^infty-2integral1^inftysin(2x)x,dx=cos(2)-2integral1^inftysin(2x)x,dx

Passo 6

A integral integral1^inftysin(2x)x,dx define a função Si, pois
integral1^inftysin(2x)x,dx=integral2^inftysin uu,du=pi2-Si(2)

Passo 7

Substituindo tudo, chegamos a
integral1^inftysin^2 xx^2,dx=12cdot1-12l(cos(2)-2(tfracpi2-Si(2))r)=1-cos(2)2+pi2-Si(2)

Resposta

A integral é absolutamente convergente e vale
1-cos(2)2+pi2-Si(2)

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