Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
No exercício, queremos analisar a integral imprópria
. O conteúdo envolve teste de convergência e cálculo de integrais impróprias, e vamos precisar usar comparação de funções, identidade trigonométrica e funções especiais (Si).
Passo 2
Para verificar a convergência absoluta, observamos que
e
. Logo
e como
Passo 3
Agora vamos calcular o valor da integral usando a identidade
. Assim
Passo 4
A primeira integral é imediata:
Passo 5
Para a segunda, aplicamos integração por partes com
e
. Obtém-se
Passo 6
A integral
define a função
, pois
Passo 7
Substituindo tudo, chegamos a
Resposta
A integral é absolutamente convergente e vale