Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para a gente estudar a convergência da integral imprópria
, com
. Vamos usar testes de comparação para a convergência absoluta e o teste de Dirichlet (via substituição) para a convergência condicional.
Passo 2
Para a convergência absoluta, observamos que
. Assim
e sabemos que
converge se, e somente se,
. Logo a integral é absolutamente convergente para
.
Passo 3
Para a convergência condicional, fazemos a substituição
. Então
e
. A integral vira
Chamando o expoente de
, sabemos que
converge (por Dirichlet) exatamente quando
. Daí
Portanto a integral original converge (ao menos condicionalmente) sempre que
.
Passo 4
Juntando tudo:
- Convergência (condicional ou absoluta) para
. - Convergência absolutamente apenas se
. - Convergência condicional quando
. - Se
, então e basta .
Resposta
A integral
converge se e somente se
. Dessas, é absolutamente convergente para
e apenas condicional para
.