Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar a convergência da integral imprópria integral1^infty sin(x^alpha)x^beta,dx, com alpha,beta>0. Vamos usar testes de comparação para a convergência absoluta e o teste de Dirichlet (via substituição) para a convergência condicional.

Passo 2

Para a convergência absoluta, observamos que |sin(x^alpha)|<=1. Assim
integral1^infty |sin(x^alpha)|x^beta,dx ;<=; integral1^infty 1x^beta,dx,
e sabemos que integral1^infty x^-betadx converge se, e somente se, beta>1. Logo a integral é absolutamente convergente para beta>1.

Passo 3

Para a convergência condicional, fazemos a substituição t=x^alpha. Então x=t^1/alpha e dx=tfrac1alphat^1/alpha-1dt. A integral vira
integral1^infty sin(x^alpha)x^beta,dx = 1alphaintegral1^infty t^1alpha-1-betaalphasin(t),dt = 1alphaintegral1^infty t^l(1-betaalpha-1r)sin(t),dt
Chamando o expoente de e=1-betaalpha-1, sabemos que integral1^inftyt^esin(t),dt converge (por Dirichlet) exatamente quando e<0. Daí
1-betaalpha-1<0 Long<=ftrightarrow 1-beta1-alpha
Portanto a integral original converge (ao menos condicionalmente) sempre que beta>1-alpha.

Passo 4

Juntando tudo:
  • Convergência (condicional ou absoluta) para beta>1-alpha.
  • Convergência absolutamente apenas se beta>1.
  • Convergência condicional quando 1-alpha.
  • Se alpha>=1, então 1-alpha<=0 e basta beta>0.

Resposta

A integral integral1^infty sin(x^alpha)x^beta,dx converge se e somente se beta>1-alpha. Dessas, é absolutamente convergente para beta>1 e apenas condicional para 1-alpha.

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