continue considerando f: R R dada por f(x)=xe^x-1.
Sobre os extremos locais e globais de f, podemos afirmar que:
a) x=1 é o único ponto de máximo local (e global), mas não existe ponto de mínimo local nem global.
b) x=1 é o único ponto de mínimo local (e global), mas não existe ponto de máximo local nem global.
c) x=-1 é o único ponto de mínimo local (e global) e x=1 é o único ponto de máximo local (e global).
d) x=1 é o único ponto de máximo local, mas não é global.
e) x=-1 é o único ponto de mínimo local, mas não é global.

Passo 1

O enunciado pede para estudar os extremos locais e globais da função f: RtoR dada por f(x)=xe^x-1. O conteúdo envolvido é derivadas e análise de máximos e mínimos. Vamos precisar calcular f'(x), encontrar pontos críticos, usar f''(x) para classificação e analisar os limites em xtopminfty.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando regra do quociente ou produto: escrevendo f(x)=x,e^-x-1 temos
f'(x)=ddxl(x,e^-xr)=e^-x+x(-e^-x)=e^-x(1-x)

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0. Como e^-x>0 para todo x, basta 1-x=0, ou seja x=1. Não há outros pontos críticos.

Passo 4

Para classificar, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(e^-x(1-x)r)=-e^-x(1-x)+e^-x(-1)=-e^-x(2-x)

Passo 5

No ponto x=1 temos f''(1)=-e^-1(2-1)=-e^-1<0, logo há um máximo local em x=1.

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento global:
Para xto+infty, xe^xto0 então f(x)to-1.
Para xto-infty, e^xto0^+ e xto-infty, logo f(x)=x e^-x-1to-infty.

Passo 7

Isso mostra que não existe mínimo local (nem global), pois a função decresce indefinidamente em -infty e seu menor valor não está em ponto crítico.

Passo 8

Concluímos que x=1 é o único ponto de máximo local e também o máximo global, e não há ponto de mínimo local nem global.

Resposta

a) x=1 é o único ponto de máximo local (e global), mas não existe ponto de mínimo local nem global.

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