continue considerando
dada por
.
Sobre os extremos locais e globais de
, podemos afirmar que:
a)
é o único ponto de máximo local (e global), mas não existe ponto de mínimo local nem global.
b)
é o único ponto de mínimo local (e global), mas não existe ponto de máximo local nem global.
c)
é o único ponto de mínimo local (e global) e
é o único ponto de máximo local (e global).
d)
é o único ponto de máximo local, mas não é global.
e)
é o único ponto de mínimo local, mas não é global.
Sobre os extremos locais e globais de
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para estudar os extremos locais e globais da função
dada por
. O conteúdo envolvido é derivadas e análise de máximos e mínimos. Vamos precisar calcular
, encontrar pontos críticos, usar
para classificação e analisar os limites em
.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando regra do quociente ou produto: escrevendo
temos
Passo 3
Para achar pontos críticos, resolvemos
. Como
para todo
, basta
, ou seja
. Não há outros pontos críticos.
Passo 4
Para classificar, calculamos a segunda derivada:
Passo 5
No ponto
temos
, logo há um máximo local em
.
Passo 6
Agora, analisamos o comportamento global:
Para ,
então
.
Para ,
e
, logo
.
Para
Para
Passo 7
Isso mostra que não existe mínimo local (nem global), pois a função decresce indefinidamente em
e seu menor valor não está em ponto crítico.
Passo 8
Concluímos que
é o único ponto de máximo local e também o máximo global, e não há ponto de mínimo local nem global.
Resposta
a)
é o único ponto de máximo local (e global), mas não existe ponto de mínimo local nem global.