Determine o domínio das funções
f(x)=116^x^2-2^x

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar o domínio da função racional onde o denominador não pode ser zero. O conteúdo envolvido é função exponencial e condição de domínio, e vamos precisar usar propriedades de potências para resolver.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a base 16 como potência de 2 para simplificar a expressão. Observe que
16^x^2 = (2^4)^x^2 = 2^4x^2
Assim o denominador fica 16^x^2 - 2^x = 2^4x^2 - 2^x.

Passo 3

Em seguida, igualamos o denominador a zero para ver onde a função não está definida:
2^4x^2 - 2^x = 0
Como 2^4x^2 e 2^x são sempre positivas, podemos fatorar 2^x sem alterar as soluções:
2^4x^2 - 2^x = 2^xl(2^4x^2 - x - 1r) = 0
A equação só se anula se o segundo fator for zero, pois 2^x nunca é zero.

Passo 4

Resolvendo 2^4x^2 - x - 1 = 0 temos
2^4x^2 - x = 1
e para uma base positiva diferente de 1, isso ocorre exatamente quando o expoente é zero:
4x^2 - x = 0 ,Longrightarrow, x(4x - 1) = 0 ,Longrightarrow, x = 0 ;ou; x = 14
Esses valores anulam o denominador e, portanto, devem ser excluídos do domínio.

Passo 5

Concluímos que a única restrição ao domínio é evitar x = 0 e x = tfrac14. Todos os outros valores reais são permitidos.

Resposta

O domínio é Rsetminus0,tfrac14.

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