Sabendo que os limites a seguir existem, use coordenadas polares para determiná-los:

Passo 1

A questão pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis usando coordenadas polares. O conteúdo envolve mudança para coordenadas polares e análise do comportamento quando r→0. Vamos usar a substituição x = r
cos
θ e y = r
sin
θ. Nesse sistema, r ≥ 0 e θ é o ângulo.

Passo 2

Substituindo em (x³ − y³)/(x² + y²), temos
x^3 - y^3x^2 + y^2 = r^3(cos^3θ - sin^3θ)r^2 = r(cos^3θ - sin^3θ)

Passo 3

Quando (x,y)→(0,0) corresponde a r→0. Como |cos³θ − sin³θ| ≤ 2, o produto r( cos³θ − sin³θ )→0. Portanto o argumento do cosseno tende a 0, e temos cos(algo que vai a 0)=cos0=1.

Resposta

1

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