Derive a função f dada a seguir e calcule f^prime(0) :
f(x)=ln (x^2+3)-cos (3 pi / 2)+3^x

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=lnl(x^2+3r)-cosl(3pi/2r)+3^x e, em seguida, calcular f'(0). Vamos usar: a regra da derivada de ln(u), a derivada de constante nula e a derivada de a^x.

Passo 2

Derivando termo a termo: para ln(x^2+3) aplicamos ddxln(u)=u'u com u=x^2+3, resultando em 2xx^2+3. A derivada de -cos(3pi/2) é zero, e a de 3^x é 3^xln 3. Portanto,
f'(x)=2xx^2+3+3^xln 3

Passo 3

Para encontrar f'(0), basta substituir x=0 em f'(x):
f'(0)=2cdot00^2+3+3^0ln 3=0+1cdotln 3=ln 3

Resposta

ln 3

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