4. Considere a função f: R R definida por f(x)=llx^2, & se x >= 0 -x^2, & se x<0. Mostre que f^prime prime(0) não existe.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função
f(x)= x^2, & x>=0, -,x^2, & x<0,
e pede pra mostrar que a segunda derivada em 0, ou seja f''(0), não existe.
Conteúdo da matéria: derivadas (primeira e segunda) e limites laterais.
O que vamos precisar:
  1. Saber derivar as funções x^2 e -x^2.
  2. Entender definição de derivada em ponto como limite do quociente incremental.
  3. Usar limite lateral para a segunda derivada, pela definição
f''(0)=limhto0f'(0+h)-f'(0)h

Passo 2

Vamos achar a derivada para cada ramo:
  • Se x>0, f(x)=x^2. A gente sabe que
ddx(x^2)=2x,
logo f'(x)=2x.
  • Se x<0, f(x)=-x^2. A derivada é
ddx(-x^2)=-2x,
logo f'(x)=-2x.

Passo 3

Agora vemos f'(0). Pela definição de derivada em 0 com limites laterais:
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h
Mas já temos as fórmulas de f'(x), então basta olhar o valor em x=0 em cada ramo:
  • Pela direita ( h>0): f'(h)=2h, então quando hto0^+, f'(h)to2cdot0=0.
  • Pela esquerda ( h<0): f'(h)=-2h, então quando hto0^-, -2hto0.
    Como os dois dão 0, f'(0)=0 existe e vale 0.

Passo 4

Para ver se f''(0) existe, usamos definição de segunda derivada em 0:
f''(0)=limhto0f'(0+h)-f'(0)h =limhto0f'(h)-0h =limhto0f'(h)h
Aí precisamos checar esse limite pelos dois lados.

Passo 5

Calcular os limites laterais:
  • Para hto0^+, usamos f'(h)=2h. Então
f'(h)h=2hh=2
  • Para hto0^-, usamos f'(h)=-2h. Então
f'(h)h=-2hh=-2
Como o limite pela direita é 2 e pela esquerda é -2, eles não coincidem, logo o limite não existe.

Resposta

f''(0) não existe, pois os limites laterais da definição de segunda derivada em 0 são diferentes ( +2 e -2).

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