. Considere a função definida por . Mostre que f^prime prime(0) não existe.
Passo 1
O enunciado diz que temos a função
f(x)= x^2, & x>=0, -,x^2, & x<0,
e pede pra mostrar que a segunda derivada em 0, ou seja f''(0), não existe.
Conteúdo da matéria: derivadas (primeira e segunda) e limites laterais.
O que vamos precisar:
Saber derivar as funções x^2 e -x^2.
Entender definição de derivada em ponto como limite do quociente incremental.
Usar limite lateral para a segunda derivada, pela definição
f''(0)=limhto0f'(0+h)-f'(0)h
Passo 2
Vamos achar a derivada para cada ramo:
Se x>0, f(x)=x^2. A gente sabe que
ddx(x^2)=2x,
logo f'(x)=2x.
Se x<0, f(x)=-x^2. A derivada é
ddx(-x^2)=-2x,
logo f'(x)=-2x.
Passo 3
Agora vemos f'(0). Pela definição de derivada em 0 com limites laterais:
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h
Mas já temos as fórmulas de f'(x), então basta olhar o valor em x=0 em cada ramo:
Pela direita (h>0): f'(h)=2h, então quando hto0^+, f'(h)to2cdot0=0.
Pela esquerda (h<0): f'(h)=-2h, então quando hto0^-, -2hto0.
Como os dois dão 0, f'(0)=0 existe e vale 0.
Passo 4
Para ver se f''(0) existe, usamos definição de segunda derivada em 0: