Esboce o gráfico da função
.
Passo 1
Resumo da questão: “Esboce o gráfico da função
.”
Conteúdo: Análise de funções via cálculo – domínio, zeros, derivadas (monotonia e extremos), concavidade e simetria.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Análise de funções via cálculo – domínio, zeros, derivadas (monotonia e extremos), concavidade e simetria.
O que vamos precisar:
- Identificar domínio e simetria;
- Encontrar raízes de
e estudar o sinal de ; - Calcular
para ver onde a função cresce ou decresce e achar pontos críticos; - Calcular
para saber onde muda a concavidade; - Juntar tudo num esboço simpático.
Passo 2
Domínio e simetria
- Domínio: todo
, pois está sempre bem definido. - Simetria: note que
logo
é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Raízes e sinal de
- Zerar
:
Então os zeros são
e
.
2) Sinal de :
2) Sinal de
- Para
, . - Para
, .
Passo 4
Derivada e monotonia
- Calculemos
- Zeros de
: ou (i.e.\ ). - Estudo de sinais de
:
- Em
: tome , → decresce. - Em
: take , → ainda decresce. - Em
: → cresce. - Em
: → cresce.
Conclusões:
-
decresce para e cresce para . - Nos pontos
a derivada zera mas não muda de sinal (ponto de inflexão estacionário). - Em
passa de decrescente para crescente → mínimo em .
Passo 5
Concavidade e pontos de inflexão
- Segunda derivada:
- Zeros de
:
- Sinal de
:
-
: e (concavidade para cima). -
: e (concavidade para baixo). -
: (concavidade para cima).
Logo há pontos de inflexão em
.
Passo 6
Esboçando o gráfico
Juntando tudo:
Juntando tudo:
- Domínio: todo
. - Simétrico em
. - Zeros em
e . - Mínimo global em
. - Tangente horizontal também em
mas sem extremum (inflection points). - Vai a
quando .
Um esboço aproximado em ASCII (vista lateral):
y
^
| *
| /
| /
| /
| *
| /
| /
-------*--------*--------*-------> x
(-1,0) (0,-1) (1,0)
Resposta
O gráfico de
é par, decresce de
até
, cresce de
até
, cruza o eixo
em
com tangentes horizontais e tem concavidade trocando em
.