Esboce o gráfico da função f(x)=(x^2-1)^3.

Passo 1

Resumo da questão: “Esboce o gráfico da função f(x) = (x^2 - 1)^3.”
Conteúdo: Análise de funções via cálculo – domínio, zeros, derivadas (monotonia e extremos), concavidade e simetria.
O que vamos precisar:
  • Identificar domínio e simetria;
  • Encontrar raízes de f(x) e estudar o sinal de f;
  • Calcular f'(x) para ver onde a função cresce ou decresce e achar pontos críticos;
  • Calcular f''(x) para saber onde muda a concavidade;
  • Juntar tudo num esboço simpático.

Passo 2

Domínio e simetria
  1. Domínio: todo R, pois (x^2-1)^3 está sempre bem definido.
  2. Simetria: note que
f(-x) = ((-x)^2 - 1)^3 = (x^2 - 1)^3 = f(x),
logo f é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Raízes e sinal de f
  1. Zerar f(x):
(x^2 - 1)^3 = 0 Longrightarrow x^2 - 1 = 0 Longrightarrow x = pm1
Então os zeros são (-1,0) e (1,0).
2) Sinal de f(x):
  • Para |x|>1, x^2-1>0implies f(x)>0.
  • Para |x|<1, x^2-1<0implies f(x)<0.

Passo 4

Derivada e monotonia
  1. Calculemos
f'(x) = 3,(x^2-1)^2cdot 2x ;=; 6x,(x^2-1)^2
  1. Zeros de f': x=0 ou x^2=1 (i.e.\ x=pm1).
  2. Estudo de sinais de f':
  • Em (-infty,-1): tome x=-2, f'(-2)<0 → decresce.
  • Em (-1,0): take x=-0.5, f'<0 → ainda decresce.
  • Em (0,1): x=0.5implies f'>0 → cresce.
  • Em (1,infty): x=2implies f'>0 → cresce.
Conclusões:
  • f decresce para x<0 e cresce para x>0.
  • Nos pontos x=pm1 a derivada zera mas não muda de sinal (ponto de inflexão estacionário).
  • Em x=0 passa de decrescente para crescente → mínimo em (0,f(0)) = (0,-1).

Passo 5

Concavidade e pontos de inflexão
  1. Segunda derivada:
f''(x) =ddxl[6x(x^2-1)^2r] =6(x^2-1)^2 + 6xcdot2(x^2-1)cdot2x =6(x^2-1)l[(x^2-1)+4x^2r] =6(x^2-1)(5x^2-1)
  1. Zeros de f'':
x^2-1=0;Rightarrow;x=pm1, 5x^2-1=0;Rightarrow;x=pm1raiz5approxpm0,447
  1. Sinal de f'':
  • |x|<1/raiz5: (x^2-1)<0 e (5x^2-1)<0 implies f''>0 (concavidade para cima).
  • 1/raiz5<|x|<1: (x^2-1)<0 e (5x^2-1)>0 implies f''<0 (concavidade para baixo).
  • |x|>1: (x^2-1)>0 implies f''>0 (concavidade para cima).
Logo há pontos de inflexão em x=pm1/raiz5.

Passo 6

Esboçando o gráfico
Juntando tudo:
  • Domínio: todo R.
  • Simétrico em y.
  • Zeros em (-1,0) e (1,0).
  • Mínimo global em (0,-1).
  • Tangente horizontal também em x=pm1 mas sem extremum (inflection points).
  • Vai a +infty quando xtopminfty.
Um esboço aproximado em ASCII (vista lateral):
           y  
           ^  
           |                       *  
           |                     /    
           |                   /      
           |                 /        
           |               *          
           |             /            
           |           /              
    -------*--------*--------*-------> x  
         (-1,0)   (0,-1)   (1,0)

Resposta

O gráfico de f(x)=(x^2-1)^3 é par, decresce de +infty até (0,-1), cresce de (0,-1) até +infty, cruza o eixo x em pm1 com tangentes horizontais e tem concavidade trocando em x=pm1/raiz5.

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