Use a integral dupla e coordenadas polares para encontrar o volume das regiões sólidas
Abaixo do parabolóide z=x^2+y^2 e acima do disco x^2+y^2 <= 9.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido que fica abaixo do paraboloide z=x²+y² e acima do disco x²+y²≤9. O conteúdo principal é integral dupla para volume e vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Para calcular o volume, usamos a fórmula de volume sob uma superfície z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy: V=integral duplaD f(x,y),dA Aqui f(x,y)=x²+y², então

Passo 3

Mudamos para coordenadas polares, onde x²+y²=r² e dA=r,dr,dθ. O disco x²+y²≤9 vira 0≤r≤3 e 0≤θ≤2π. Assim

Passo 4

V=integral0^2piintegral0^3r^2cdot r,dr,dθ=integral0^2piintegral0^3r^3,dr,dθ Primeiro integramos em r:

Passo 5

integral0^3r^3,dr=r^44|0^3=814 Depois em θ: integral0^2pidθ=2pi. Portanto

Passo 6

V=2picdot814=81pi2

Resposta

81pi2

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