Encontre a derivada da função (x^2-22 x^2+1)^2.

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é a função
f(x) = gl(x^2-22x^2+1gr)^2
O conteúdo que vamos usar é derivada de funções compostas (regra da cadeia) e derivada de quociente (regra do quociente).

Passo 2

Primeiro, vamos notar que é uma composição:
definimos
u(x) = x^2-22x^2+1
e então
f(x) = [,u(x),]^2.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = 2,u(x),cdot u'(x)
Aqui a teoria é simples: se f(x)=[u(x)]^2, então derivada é 2,u(x),u'(x).

Passo 3

Agora precisamos de u'(x). Para isso usamos a regra do quociente:
se u(x)=N(x)D(x), então
u'(x) = N'(x),D(x) - N(x),D'(x)[D(x)]^2
No nosso caso
N(x)=x^2-2 N'(x)=2x
D(x)=2x^2+1 D'(x)=4x
Logo,
u'(x) = (2x)(2x^2+1) - (x^2-2)(4x)(2x^2+1)^2 = 4x^3+2x -4x^3+8x(2x^2+1)^2 = 10x(2x^2+1)^2

Passo 4

Agora voltamos em
f'(x) = 2,u(x),u'(x)
Substituindo u(x) e u'(x):
f'(x) = 2 cdot x^2-22x^2+1 cdot 10x(2x^2+1)^2 = 20x,(x^2-2)(2x^2+1)^3

Resposta

boxedf'(x) = 20x,(x^2-2)(2x^2+1)^3

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